【强基固本】三次样条（cubic spline）插值

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来源：知乎—阿贵

地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/62860859

当已知某些点而不知道具体方程时候，最经常遇到的场景就是做实验，采集到数据的时候，我们通常有两种做法：拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点，讲究神似，就是整体趋势一致。插值则是形似，每个已知点都必会穿过，但是高阶会出现龙格库塔现象，所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。

顾名思义，分段就是把区间[a,b]分成n个区间  ,共有n+1个点，其中两个端点  。三次样条就是说每个小区间的曲线是一个三次方程，三次样条方程满足以下条件：

1，在每个分段小区间  上， 都是一个三次方程

2，满足插值条件，即 

3, 曲线光滑，即  连续

则这个三次方程可以构造成如下形式：

 这种形式,我们称这个方程为三次样条函数  。

从  可以看出每个小区间有四个未知数  ，有n个小区间，则有4n个未知数，要解出这些未知数，则我们需要4n个方程来求解。

01

求解

我们要找出4n个方程来求解4n个未知数

首先，由于所有点必须满足插值条件，  ，除了两个端点，所有n-1个内部点的每个点都满足  前后两个分段三次方程，则有2(n-1)个方程，再加上两个端点分别满足第一个和最后一个三次方程，则总共有2n个方程；

其次，n-1个内部点的一阶导数应该是连续的，即在第 i 区间的末点和第 i+1 区间的起点是同一个点，它们的一阶导数应该也相等，即  则有n-1个方程

另外，内部点的二阶导数也要连续，即  ,也有n-1个方程

现在总共有4n-2个方程了，还差两个方程就可以解出所有未知数了，这两个方程我们通过边界条件得到。

有三种边界条件：自然边界，固定边界，非节点边界

1，自然边界 ( Natural Spline )：指定端点二阶导数为0，

2, 固定边界 ( Clamped Spline ): 指定端点一阶导数，这里分别定为A和B。即 

3, 非扭结边界( Not-A-Knot Spline ): 强制第一个插值点的三阶导数值等于第二个点的三阶导数值，最后第一个点的三阶导数值等于倒数第二个点的三阶导数值. 即 

02

具体推导

1. 由 可得 

2. 用  表示步长，由  推出 

3. 由  推出

可得

4. 由  推出 

设  则  改写为 

可得

5. 现在  都可以表示成二阶导的关系式，将其代入到  可得

6. 将  代入  可得

这样我们可以构造一个以m为未知数的线性方程组。

1）在自然边界条件时，

可以看出，左侧的系数矩阵为严格对角占优矩阵。即：每一行中对角元素的值的模 > 其余元素值的模之和。故线性方程组有唯一解，且雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收敛。

2）在夹持边界条件时，

将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为

3）在非扭结边界条件时，

由于 ，并且 

即

新的方程组系数矩阵可写为：

下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：

03

算法总结

假定有n+1个数据节点

1. 计算步长 

2. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程

3. 解矩阵方程，求得二次微分值  。该矩阵为三对角矩阵，常见解法为高斯消元法，可以对系数矩阵进行LU分解，分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵。即 

4. 计算样条曲线的系数：

5. 在每个子区间  中，创建方程

参考：

https://www.cnblogs.com/flysun027/p/10371726.html

https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/01/26/2878092.html

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