专题 | BICMR数学家们的教学心得

专  题

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关键词：BICMR数学家

编者按

教学是大学校园里最重要最富于生机的活动，这是一个师生互动、彼此塑造的过程。一说起上课，不管是老师还是学生，都积累了很多经验或者是心得，有很多故事可以说。开学第一周，让我们听听BICMR数学家们关于教学，都有哪些心得体会。

受访教师本学期基本课程情况

田刚院士《几何分析》

“这学期我开了一门本研课程，叫《几何分析》，这是一门有学分的课，北大本科生和研究生都可以来上。几何分析是当今国际数学研究的重要领域，近年来有不少重大进展，与数学其他分支也有深刻联系。在这门课中，我首先讲凯勒几何的基础知识，之后讨论凯勒几何前沿研究的一些重要进展。我希望通过这门课程，同学们对凯勒几何有较全面的了解。目前大概是有25人选课，这周二刚上了第一节课，来了40多人。”

董彬老师《图像处理中的数学方法》

“这学期我开了一门课程，叫《图像处理中的数学方法》，主要介绍近30年图像处理领域的主要数学方法以及近几年的一些机器学习和深度学习方法，学生以研究生为主，本科生为辅，课堂规模一般是30人上下。”

肖梁老师《数论专题：费尔马大定理》

“这学期我开的是《数论专题：费尔马大定理》。学生以大三大四和博士生为主，这门课是数论方向基础课《数论I》和《数论II》之后的专题课程。第一天上课教室基本坐满，有50个左右的同学，不知道第二节课会是什么情况。”

张磊老师《计算方法（B）》

“我这学期开设了《计算方法(B)》，这是北大数学学院为新设立的大数据专业的本科生开的必修课，是计算数学方向三门基础课（《数值代数》《数值分析》《最优化理论与算法》）的整合，一般是大三和大四的同学选修这门课，也有一些其他院系的同学，课堂大概有30到40人，是我非常喜欢的一个课堂规模。”

周珍楠老师《高等数学A》

“我这学期开设了《高等数学A》，学生基本上是来自信科、物理、地空、元培等学院的大一新生。目前课堂已经达到上限150人了，但是也有一些同学还在旁听和试图补选。”

教学Q&A

Q1.  您觉得，要保证教学质量，老师需要做哪些工作呢？

老师们可以通过哪些办法来提高自己的教学水平？

田刚：可以说北大汇聚了全国最好数学苗子，我们非常重视教学、人才培养工作。教书育人是教师的天职，一直以来北大数学都保持着院士、学科带头人、资深教授给学生上课、指导学生做科研的优良传统。老师们在教书育人方面做了很多探索，除了正式课，老师们还在课下开设学生讨论班，学生在讨论班上就某个专题作陈述，老师学生参与研讨，不仅能了解学生对所学知识的掌握程度，更能培养提高学生独立探索科研问题的能力，还能加强学生的表述能力。北大校友恽之玮、朱歆文等当前活跃在国际数学界的杰出青年数学家就参加过我在北大开设的学生讨论班，当时大概是2001年左右，他们才大二，我还担心他们能否跟上，实际上他们在讨论班上表现非常好，思考问题也有深度。事实证明我们的人才培养是卓有成效的，北大数学培养了一大批思想活跃、富有创新精神的优秀人才，也做出了一系列世界领先的科研成果。

董彬: 多和学生沟通，了解他们的困惑点和兴趣点，再结合自己授课的目标进行调整。授课老师自己也要与时俱进，尤其是研究生课程的授课老师。

刘毅：我感觉备课非常重要。像有的课教过多次，进度也逐渐定型，但我每次还是会在课前把教案在脑海中预演一遍。因为教过的课再教，特别容易产生“他们已经会了”的错觉，所以每次都得在心理上调出新鲜感。还有就是保持交流渠道畅通，比如让课程的信息、通知等出现在尽量触手可及的位置（页面），经常鼓励学生提问，带头问，总之是要使教学的过程随时向可能的互动敞开。

肖梁：专题课程的一般特点是没有现成的教案，老师需要根据专题自己组合各种内容，这其实是最困难的一步。我们可能对某些理论相当的熟悉，但要把理论以最自然、最直接、最高效而且没有逻辑漏洞的形式展现出来，我们自己还需要花很多的功夫把细节吃透（这也包括发现各种别人的讲义里面的各种漏洞☺）。有些时候需要在几种不同的表现形式之间徘徊很久，比如一个定理的证明需要三个预备知识，那么这三个预备知识按什么样的顺序进行讨论，是否某个预备知识穿插在定理的证明中讨论会让逻辑上更为顺畅，这些都是需要考量的内容。

除了课堂教学之外，作业和习题的设计也是需要时间的。在必须完成的作业之外，我会留更多的练习题。在完成基础课程之后，我认为学生们学习哪个科目完全就是个人意愿决定了。如果学生想专注这个方向，那么他就应该花一些时间在这些额外的练习题上，因为这些题目可以帮助学生提高对问题的理解，并且有些题目会涉及到周边的知识和研究课题，让学生开阔视野。而另一些学生可能只是对这个专题有兴趣，想来听听找找感觉，而自己的研究方向并不是数论，我觉得也很好，他们也不一定要做这些额外的习题，正常的作业足够帮助他们理解课堂内容，并且跟上课程的节奏。

我认为一个好的教案就要让各个背景的人都可以获得他们所寻求的知识，并且为他们提供各种可能性。

张磊：我在北大已经有7年教学经历了，如果从博士后单独承担教学任务开始算，已经从教11年了。我教学上比较传统，始终坚持写板书，现在有的时候会辅助ppt。我觉得北大数学有很多教学非常好的老教授，讲课特别好，如果年轻老师想提高自己的教学水平，就去听听老教授们的课，中心和学院也可以考虑组织一下这方面的活动。

周珍楠：我的经验是在明确教学目标的基础上了解教材和了解学生。另外，如果需要板书的话，在准备课程时按照板书的布局写一遍教案会让自己在讲课时更游刃有余。在教学态度端正的前提下，也许逐渐找到自己的最适合的教学风格是最重要的。

北大在教师的培训方面已经非常全面了。国外有些高校的学生会有“与教授午餐”的项目：学生可以组成2~4人的小组，约授课老师在学校里一起吃午餐，交流学业心得。我觉得这样的活动不仅有利于学生开拓视野，也会帮助老师更容易了解学生们的思想动态。

Q2.大学老师要兼顾教学和科研。您是如何平衡两者之间的

关系的呢？教学工作和科研工作可以结合起来吗？ 

田刚：大学老师要兼顾教学和科研，看起来好像是负担，实际上是幸运。我们都说，教学相长、教研相长，适当的教学与教师的研究是可以相辅相成，相互促进的。北大数学专业的学生虽然年轻，但很多学生的数学功力都很强，对数学研究有很高的悟性，很多老师都说在北大教书，既是教师教学生，也是学生教老师，从某种程度上说确实是这样。老师教给学生技术、方法，提升学生们的学术视野，学生的问题、探究、追问则能为科学研究带来新的思路和灵感。在大学里，教学和科研紧密相连、相互促成，这既是大学的特色，也是大学的魅力所在。所以教学和科研是可以相互依存的，关键在于自己能否努力。事实上，很多著名的数学家都很重视给学生上课，与优秀的年轻人交流接触对于科研很有帮助。

张磊：教学和科研其实都是为了培养学生，把数学的思想，无论是通过上课的方式，还是指导学生做课题的方式传授给学生，都是一件很有乐趣的事情。特别是在这个过程中我自己也经常能学到很多知识，有时候忙一点，但觉得很充实，也就不去管平衡不平衡了。

周珍楠：在我看来两者之间其实没有什么特别矛盾。高年级的本科生课和研究生的课本身就有科研的味道。不过教低年级的课也会让老师有温故而知新的机会，特别是与刚接触到这门学科的同学进行思维碰撞，也是很有乐趣的。

Q3.  本科生的课堂和研究生的课堂有哪些差别？

您如何在不同程度学生的课堂之间切换呢？

董彬: 本科生还是以基础训练为主，培养的主要还是基本功，偶尔穿插一些有趣的例子，让学生们保持兴趣，不会被持续枯燥的推导磨掉了热情。研究生课程就更加贴近科研的前沿，课上举的例子也更加鲜活，让学生初尝学以致用的乐趣。

从博士后（UCSD）期间到现在，我有11年授课经验，早期授课以本科生基础课为主，现在基本上是本科生高年级或者是研究生为主的课程。上课方式基本没有太大的变化，我喜欢启发式授课，不喜欢照本宣科，经常夹带私货，用贴近大家生活、更加新颖的例子，帮助学生理解课堂内容。

刘毅：数院的本科生的课一般是核心的专业课。研究生课则不少是本研合上，所以也有很多本科生选。相比起来，研究生课更注重研究方面能力的培养，会关注文献、进展等延伸话题。本科生课的内容、进度、考核都比较严格。

我教的大都是基础数学的课程，所以，不同课堂的学生虽然程度有区别，但主要不在于能力上，而在于低年级学生还没有掌握高年级的内容。如果刚讲完本科生的课，马上去讲研究生的课（或者讨论班），一般不会出现不兼容的问题，经常还讲得好懂一些，板书也比较认真。反过来确实要随时提醒自己听众的背景。教本科生的课，我会设计更多的练习，这样能促使学生充分地接触材料。关于定义、定理的评注也会比研究生课程更多，就是讲得比较细。因为本科生课程还有习题课、期中考试等机制，所以学生实际水平其实在平时也反馈得比较清楚。

肖梁：北大的传统是学生很强，教得越有挑战性，越受学生喜欢。我教授的这门课主要受众是高年级本科生和高年级博士生，从切换教学方式和观点的角度看，我觉得首先是要带领学生从上基础课的习惯中慢慢过渡到专题课程中来。基础课的目的是扎实地学好相对固定的知识体系，重点在于理解知识的逻辑和体系架构，所有证明都要了然于胸。但是专题课程的目的在于引入一个思考数学的不同视角，关注在具体问题下如何灵活运用基础数学知识和技术，并且有时需要学会在不了解证明的情况下直接引用困难的数学定理。

张磊：本科生的课程偏重基础知识的学习，通常围绕一本教材讲授，掌握数学的方法和思维。而研究生的课程我更倾向不受教材的限制，可以结合领域内一些经典的文献或最新的成果，把教学和科研有机地结合在一起，引导学生对课程的内容产生兴趣，这是做研究最好的动力，也是创新的源泉。

Q4.  什么样的学生会令您感到惊喜？除了学习成绩，

您对学生还有哪些期待呢？

刘毅：学生们坐在教室里的时候表面上看上去挺相似的，其实各自都有闪光的特点。比如有的学生交上来的作业解答，仔细读就能感到非常用心，是在比较了各种可能途径后，有挑选有谋划地写成的；有的学生能在学习状态不佳的时候主动提出面谈，而且能清楚分析和表达自己的状态；还有的学生自己已经知道许多超前的内容，还能融入同学们的讨论，分享自己的想法，听取他人的想法。我觉得这些都是特别宝贵，有些甚至是值得尊敬的优点。希望他们对于自己都抱有认真的态度，互相增益。

教一件东西，有人愿意竖着耳朵听，这本身就是挺令人开心的事情，更何况有时还能把不懂的人讲懂。学生突然明白一件新东西的时候眼睛会放一下光，像突然被点亮了一样。这样的时刻可能不多，但每次都会感觉特别高兴。

周珍楠：可能是逐步提高独立思考和自我规划的能力吧。虽然课堂仍是学习的重要组成部分，但是进入大学之后，自主学习的能力对个人学业的成长越来越重要了。这也是很多新同学从中学来到大学后，需要在心态上做好调整的地方。

编辑 | 赖钰

本文转载自 北京国际数学研究中心BICMR

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