彻底搞懂双生子佯谬之前需要了解的东西（下）

在《彻底搞懂双生子佯谬之前需要了解的东西（上）》的最后我稍微提了一下闵氏空间（闵可夫斯基空间），并且指出闵氏空间是狭义相对论的背景空间，如何在这个空间里利用几何的手段去学习狭义相对论，那一切将变得非常容易。

本来我只是打算提一下，但是没想到很多人对这个还非常感兴趣，这很好。但如果要专门仔细讲闵氏空间，那估计得开一个系列了，这就等于从另一个角度把狭义相对论再重新推导一遍，所以我们先把这个问题放一放，先从大家熟悉的角度把双生子佯谬这个问题讨论完了再来说闵氏空间~

网上也有很多分析双生子佯谬的问题和文章，其中有很多惨不忍睹，有些思路是对的，但是只做了定性的分析，没有做定量的计算。有些分析得比较准确深刻的大多是从闵氏空间，从几何的角度来分析的（没办法，这个角度就是简单，想出错都很难），但是大部分人开始看到闵氏空间都有点懵懵的感觉，好像能看懂它的推理，但是无法深刻理解它的含义。

我觉得这种问题如果想说得让大家彻底信服，需要对问题做定量的分析。而如果要定量分析计算，那肯定就离不开洛伦兹变换。

洛伦兹变换

洛伦兹变换是狭义相对论里两个做匀速直线运动的惯性参考系（S和S’）之间的坐标变换。有人看到这个可能依然是有点懵，如此官方的说法很不长尾啊~那么坐标变换又是说的一个啥事呢？

比方说现在有一辆车以20米每秒的速度相对地面运行，那么大地和汽车就构成了两个惯性参考系。这时候如果我在地面上测量到了一个物体相对地面坐标的信息，而我想知道这个物体相对汽车的坐标信息（也就是在汽车上建立一个坐标系，看那个物体相对汽车的位置）要怎么办？

难道还要重新拿一个测量工具去车上测量么？那多费劲啊，明明是同一个事件，为什么需要测量两次？这时候我们只需要根据伽利略变换算一算就行了，如果我知道一个坐标系里的坐标位置，根据伽利略变换就能立马算出另一个坐标系里的位置信息。

我们看到伽利略变换了不同参考系的时间永远是相等的，这就是绝对时空观的体现。我们都知道，当物体的速度接近光速的时候，不同参考系的时间是不一样的（不然我们还讨论什么双生子佯谬），长度也会发生变化，时间空间也不再是相互割裂的，而是相互影响的，所以，这时候伽利略变换就不能用了。

那么，在狭义相对论的时空里，两个相互做匀速直线运动的参考系，他们之间的时间空间坐标的对应关系就是由洛伦兹变换来完成的。

也就是说，在狭义相对论里，如果我知道一个物体的时间空间信息，那么就可以通过洛伦兹变换算出在另一个惯性系里的时间空间信息。洛伦兹变换就成了联系不同惯性系的桥梁。

逆变换

从上图我们可以看到洛伦兹变换有一正一逆两个变换。大家仔细看一下就会发现，所谓的逆变换，其实就是把正变换里的速度v取了一个负号变成-v变成的。

那么把速度的符号取个负数是什么意思呢？大家都知道速度是一个矢量，矢量就是有方向的物理量，速度取了一个负号不是说把速度的大小变成了负数，而是把速度的方向变了一个方向。

在物理学里，运动是相对的，我相对你向左运动，那么你相对我自然就是向右运动。所以，在洛伦兹变换里，如果正变换是根据S系求S’的信息，那么，把速度反向的逆变换就是根据S’求S系的信息。

因此，在双生子佯谬里，假设地球是惯性系S，匀速运动的飞船的惯性系是S’，那么对于同一个事件，如果我是以地球为参考系求飞船上的事件就用正变换，如果是以飞船为参考系求地球的事件就用逆变换。这两者是等价的，因为我们分析问题的时候会经常切换到飞船参考系，所以会经常用到洛伦兹变换的逆变换。

尺缩效应

我们首先要明白一件事：假设有一颗星球距离我们地球30光年，我们开飞船往那个星球飞行，我们说的这个30光年其实是以地球为参考系，在地球上测量的距离是30光年。也就是在地球系里的30光年，那么，在高速运动的飞船系里，他就不是30光年了。如果他的速度是0.995c，此时空间的长度会缩短为原来的十分之一，这就是尺缩效应。

在双生子佯谬里，哥哥驾驶的飞船一旦启动，他和另外星球的距离就发生了改变，这是要注意的。而这个改变的实质就是在地球和飞船两个不同的参考系里长度的变化，这个可以很简直接的从洛伦兹变换里推导出来。

尺缩效应的公式如下（代表静止尺子的长度，L为运动尺子的长度，V为运动速度，C为光速）：

时钟到底记录了什么？

在文章的开始我说暂时不对闵氏空间做深入的分析，但是有两个非常重要并且和双生子佯谬相关的结论，我倒是想提前拿来说一说。对这个问题实在是感兴趣，等不到我后面慢慢从几何角度分析的，可以自己沿着这个思路去查一查。

第一个非常重要的问题就是：我们随身携带的时钟到底记录了什么？

有些人心里肯定想，这不是废话么，时钟时钟，那当然记录的是时间了。话是这么说没错，但是我们想想，在相对论里时间都是相对的，不同的参考系里时间是不一样的。

与此同时，大家注意到我们在画时空图的时候，要把三维空间一维时间总共四个维度画在坐标系里，这在二维的纸上是无法办到的。所以，我们让物体在一个维度上运动，这样就可以不考虑XY空间轴，然后我们就画了一个自然的十字坐标，横轴代表空间纵轴代表时间。

我们在时空坐标里按照时间和位置把物体在时空中的轨迹描绘出来，这些点形成的曲线就叫这个物体的世界线。那么我们随身携带的时钟反映在这个图里到底是什么呢？

很多人受原来平面几何的影响，第一反应就是既然是时间，那肯定是这条曲线在时间轴上的投影长度。但是这个答案是错的。

我们随身携带的时钟记录的是我们自己感受到的时间，是本地时间，在时空图里，这个时间就是世界线的长度。没错，就是这些点形成的曲线的长度，而不是它在时间轴的投影长度。

时空图里直线最长

两点之间直线最短是我们一开始学几何，甚至不需要学几何都知道的道理。但是，不同的几何空间都有他自己测量长度的方法，比如平面和在球面求两点长度的方法肯定是不一样的，这个用来度量不同空间的距离的方法，就叫度规（metri，度量标准）。

在狭义相对论的闵氏时空里，两点之间直线最长。

这个我暂时不做解释，先让大家感受一下闵氏空间和我们常见的欧式空间不一样的地方，心里有个概念有个底~

不知道大家是否还记得上篇文章里哥哥弟弟的时空图，留在地球上的弟弟是时空图是一条平行于时间轴的直线，而开飞船的哥哥的时空图是一条曲线。比较回来时谁更老，就是比较他们自己身边的时钟谁走的更久，也就是比较哥哥弟弟是世界线（也就是那条曲线）的长度。而我们这里说两点之间直线最长，所以很明显走直线的弟弟的世界线更长，所以弟弟经过的时间更多，重逢时弟弟更老。

这就是双生子佯谬的现代几何解释。

好了，有了这些基本知识之后，就可以来详细分析双生子佯谬了~

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