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什么是量子力学？
提到量子力学，很多人的第一反应是微观、不连续、不确定，然后就是玄乎、奇怪、诡异，乃至恐怖。有这样的想法并不奇怪，毕竟，它跟经典物理的确不太一样，大家也乐于相信玻尔说的：“如果谁不为量子力学感到困惑，他就还没理解它。”许多文章、视频也喜欢把量子力学往这个方向上引，大肆宣扬“看一眼”决定猫的生死，告诉你双缝实验有多“恐怖”，把意识和量子力学扯在一起等等。于是，量子力学在大众眼里就越来越玄乎，越来越诡异，越来越恐怖了。其实，量子力学并不奇怪，你觉得它奇怪，主要是因为你老是从经典力学的视角看量子力学，就像古人眼里闪电也很奇怪一样。我们从小就浸泡在经典世界里，很多经典观念已经成了潜意识的一部分，你这样去看量子世界，自然会觉得它很奇怪。但是，如果你转换一下视角，尝试从量子的视角去看量子世界，就会发现一切都很自然。那么，如何从量子视角看待量子世界呢？想了解量子力学看待世界的方式，我们就得先搞清楚经典力学看待世界的方式。只有清楚经典力学是如何看待世界的，我们才能知道哪些观念是经典力学特有的，哪些观念进入量子力学之后需要修改，才能知道如何建立全新的量子世界观。那么，经典力学的世界又是什么样的呢？01经典的世界大家在中学都学过牛顿力学，我在《什么是高中物理？》里也介绍过。在牛顿力学里，想知道一个物体会如何运动，就要看它受到了什么力F，然后利用牛顿第二定律F=ma计算它的加速度a。算出了加速度，我们就能知道物体的运动状态会如何变化，就能根据物体此刻的状态（比如物体在哪，速度是多少）算出它下一刻的状态。也就是说，在牛顿力学里，只要我们掌握了物体的受力情况，就能根据物体的初始状态知道它任意时刻的状态。比如，我们知道苹果下落是因为受到了地球的引力，知道引力就能知道苹果下落的加速度，然后知道苹果在任意时刻的速度和位置。这是一个非常典型的例子，大家也习惯于这样去处理物体的运动。但是，在这种非常自然的处理方式里，却暗含了一个极为重要的假设：我们知道苹果在某个时刻肯定在空间中的某个地方，也肯定有一个确定的速度，不管我们有没有去测量。什么意思？你去测量苹果的位置和速度，肯定会得到一个数值。而且，你知道无论谁去测，测量多少次都不会改变这个结果。不可能说张三测量苹果在树上，李四去测，苹果就跑到了地上，顶多就是测量仪器会带来一点误差。也就是说，经典力学认为：苹果的力学量在任何时刻都有确定的取值，它的位置和速度都是确定的，跟你测不测量，如何测量没有关系。不管谁去测，也不管怎么测，测多少次，测量结果在误差范围内应该都一样。因为，我们都确信苹果肯定有一个确定的位置和速度，测量只不过是想知道这个确定的值是多少而已，这是我们常识中的常识。如果有个人跑来跟你说：不对，苹果没有确定的位置和速度，想知道苹果在哪就得去测量，测量结果是哪就在哪。而且，不同人测量的结果完全可以不一样，张三测得苹果在树上，李四可以测得苹果在地面，你肯定认为这个人疯了。是的，任何力学量在任何时刻都有确定的取值，而且跟测量无关，这是经典力学刻在我们灵魂深处的信念。但是，这种信念真的绝对可靠么？有没有可能它并没有想象中的那么天经地义？带着这样的疑问，我们来看一看大名鼎鼎的斯特恩-盖拉赫实验。02斯特恩-盖拉赫实验既然你觉得力学量在任何时刻都有确定取值，而且跟测量无关。那我们就来做个实验测一下，测什么呢？测量银原子的自旋。我们先甭管自旋是什么，只要知道这是粒子的一个固有属性，像质量和电荷一样就行了。然后，大家要知道银原子的自旋在任意方向上都只能取两个值，我们记为向上和向下。也就是说，你在任何方向测量银原子的自旋，结果都只可能是两个：要么向上，要么向下，没有其它值了。知道了自旋以及它的取值，我们就可以开始测量了，用什么测呢？用磁场，准确的说是不均匀磁场。我们让银原子通过不均匀磁场，银原子就会发生偏转，不同自旋会有不同的偏转方向。我们约定，如果银原子向上偏转，就说它自旋向上；如果银原子向下偏转，就说它自旋向下。当然，这个对应关系并不重要，我们只要知道不同的自旋会有不同的偏转就行了。之所以选择自旋，并不是因为自旋有多特殊，而是因为它足够简单，把自旋换成位置、动量也是一样的。然后，我们就可以开始实验了。首先，我们在z方向加一个磁场（以后没有特别声明，文中的磁场均指不均匀磁场），然后让一束银原子通过这个磁场。由于银原子有很多，有的自旋向上，有的自旋向下，不同自旋的银原子在磁场中的受力不一样，所以偏转方向也不一样。于是，这束银原子在z方向上就分裂成了两束，这没什么好说的（实验图片来自庄鹏飞老师的《现代量子力学》）。接下来，就是精彩的级联斯特恩-盖拉赫实验了。03级联斯特恩-盖拉赫实验所谓级联斯特恩-盖拉赫实验，顾名思义，就是在原实验的后面再加上磁场，继续做实验。而后面加的磁场，可能与原磁场方向相同，也可能不同。这些级联斯特恩-盖拉赫实验一共有三组，我们来分别看一下。第一组实验：我们先让银原子通过z方向磁场，银原子分裂成了两束（原实验）。然后，我们把下面那束银原子挡住，让上面那束再次通过z方向磁场（如图一）。大家猜结果会怎样？这个结果很好猜，因为银原子通过了一次z方向磁场，并分裂成了两束。那么，上面那束银原子在z方向的自旋就应该都一样（都自旋向上），你让它们再次通过z方向磁场，它们应该都向上偏转，因而不会分裂。没错，实验结果也的确是这样：让z方向分裂的银原子的其中一束再次通过z方向的磁场后，它们没有再次分裂。接下来，我们再看第二组实验。第二组实验：还是让银原子先通过z方向磁场，分裂成两束后，继续让上面那束银原子再次通过一个磁场。不同的是，这次通过的不是z方向磁场，而是x方向磁场。结果，我们看到银原子又分裂成了两束（如图二）。也就是说，被z方向磁场“筛选”过一次的银原子，虽然在z方向的自旋一样，但在x方向的自旋好像并不一样。这个结果虽然有点意外，但多多少少也可以接受。因为，你可能会认为所有的银原子在z方向和x方向上都有一定的取值。第一个磁场把所有z方向自旋向上的银原子筛选了出来，第二个磁场则把所有x方向自旋向上的银原子筛选了出来。这就好比选秀节目，每次从不同的维度筛选一批人。第一轮只有品行好的能通过，第二轮只有学习好的能通过，那么，通过两轮筛选的就都是品学兼优的精英了。同理，你现在可能会认为：通过了z方向和x方向两轮筛选的银原子，肯定都是在z方向自旋向上，在x方向也自旋向上的银原子。这些银原子都是历经两轮筛选的精英，它们都很纯了，以后不管是经过z方向磁场还是x方向磁场，它们都自旋向上，肯定不会再分裂了。带着这样的想法，我们进入了第三组实验。第三组实验就是在第二组实验的后面再加了一个z方向磁场。也就是说，银原子经过z方向磁场后分裂成了两束，我们让其中一束经过x方向磁场（第二组实验）。再次分裂后，我们又让其中的一束银原子再次经过z方向磁场。原本，我们以为银原子经过两轮筛选之后，在z方向和x方向上都自旋向上，再次通过z方向磁场时肯定不会再分裂。但是，实验结果却让所有人震惊了：它-居-然-再-次-分-裂-了（如图三）！这是一次让人震惊的分裂，这是一次让人百思不得其解的分裂，这是一次彻底与经典力学划清界限的分裂，这是宣告量子力学来临的分裂。你尽可以去思考它再次分裂的原因，但是，只要你还在用经典力学的思维思考问题，你是找不到出路的。或者说，只要你能意识到这个分裂的核心原因，你就已经站在了量子力学的大门口。为什么？04实验初分析你仔细想想第三组实验，还是用选秀节目做类比。我们第一轮挑选出了品行好的（z方向自旋向上），第二轮挑选出了学习好的（x方向自旋向上），那么，通过两轮筛选的就应该都是品学兼优的人。这时候，你再对这群品学兼优的人进行测试，按理说，不管是测品行（z方向）还是测学习（x方向），他们都应该是优秀（自旋向上）。但测试结果却显示：当我们对这群品学兼优的人再次测品行（z方向）时，他们竟然又分成了品行优秀和品行卑劣的两拨人（在z方向上分裂成两束），这如何不让人震惊？但震惊归震惊，实验的的确确发生了，不管你愿不愿意相信，现实就摆在眼前。那么，问题到底出在哪？到底是哪一个环节出了问题？一群已经通过两轮测试而品学兼优的人，再次测品行时，为什么又会分成品行优秀和品行卑劣的两拨人？有人说，是不是第一轮测试和第二轮测试的标准不一样？比如，第一轮测试品行时标准低一些，第二轮测试品行时标准高一些，于是，那些通过了第一轮测试的人的确有可能无法通过第二轮测试，进而导致第二轮测试时再次发生分裂（z方向上的再次分裂）。听起来很有道理，但在实验里是不可能的。原因很简单，我们在实验里是用磁场测量银原子的自旋，而磁场都是一样的。你可以怀疑选秀节目的裁判不公正，但你总不能说磁场不公正吧？所以，如果你打算在测试环节找问题，那对不起，此路不通！测试环节没问题，那就只能在被测人身上找原因了。如果两轮测试环境完全一样，而一个人在第一轮测试时品行优秀，在第二轮测试时却品行卑劣，那就只能说明：这个人在第一轮测试时确实品行优秀，但到第二轮测试时就变成品行卑劣的了。测试标准没有变，那变的就只可能是这个人了，是他自己从品行优秀变成了品行卑劣的人。我知道很多人难以接受这样的结论，同样的人，只不过先后经历了两轮测试，怎么就变了呢？当然，我们可以说人心隔肚皮，他在两轮测试中的确变了也未可知。但是，人心可以变，银原子的自旋状态是由物理定律支配的，它怎么能说变就变呢？同样是测量银原子在z方向的自旋，第一次测量时还是自旋向上，为什么第二次测量时就自旋向下了？如果我们把自旋换成位置，那这个事情就变成了：第一次测量银原子的位置时，它在北京；第二次测量银原子的位置时，它变成了武汉，这太荒谬了！在我们的潜意识里，一个物体在哪就在哪，它的位置是确定的，无论谁去测量，测量几次的结果应该都一样。在误差范围内，不可能一个人测得它在A位置，另一个人却测得它在B位置。但是，喜欢看侦探小说的朋友肯定听过福尔摩斯的一句话：当你排除了一切不可能的情况，剩下的，不管多难以置信，那都是事实！因为外部测试环境一模一样，z方向的磁场也一模一样，所以，造成前后两次测量结果不一样的原因，就不可能是来自外部环境，而必须是来自内部。必须认为是被测人的状态发生了改变（从品行优秀变成了品行卑劣），必须认为是银原子的状态发生了改变（从z方向自旋向上变成了自旋向下），我们才能解释上面的实验现象。也就是说，不管你愿不愿意相信，你都必须接受“银原子在z方向上的自旋状态确实发生了改变”这一事实，这样两次测量结果才会不一样。而这，是经典力学打死也不相信的，所以，经典力学无法解释斯特恩-盖拉赫实验。05新的力学那么，银原子在z方向的自旋状态为什么会改变呢？状态改变了，当然是受到了其它因素的影响，受什么影响呢？我们再看看第一组级联斯特恩-盖拉赫实验：如果银原子通过z方向磁场后发生了分裂，我们让其中一束再次通过z方向磁场，它是不会分裂的。但是，到了第三组实验，我们只不过在第一组实验的两个z方向磁场之间再加了一个x方向磁场，然后，第二次通过z方向磁场的银原子就分裂了。第一组没分裂，中间加了一个x方向磁场（第三组）以后就分裂了，这样一对比就会发现：能够影响银原子z方向自旋状态的，就只可能是中间测量银原子在x方向自旋这个操作了。也就是说，测量银原子在x方向的自旋竟然影响了银原子在z方向的自旋状态。测量会影响系统状态，这可新鲜了。在经典力学里，系统状态一旦确定，所有力学量的取值就都确定了，测量只不过是把这些值读取出来，并不会影响它们。一个苹果在那里，它的位置和动量都是确定的，不论谁去测量，测量几次，都不会改变苹果的位置和动量。你去测量苹果的位置，当然也不会影响苹果的动量。但是，第三组级联斯特恩-盖拉赫实验却告诉我们：通过第一个z方向磁场后，上面那束银原子都自旋向上。通过第二个z方向磁场后，原来自旋向上的银原子竟然有一部分变成自旋向下（所以才会分裂）。中间测量x方向自旋的操作的的确确改变了银原子在z方向上的自旋状态，这在经典力学里是不敢想象的。到了这里，相信大家也看出来了：如果我们想描述斯特恩-盖拉赫实验，就必须发展一套全新的力学体系，因为这个实验展现出来的特性已经跟经典力学的根本观念发生了冲突。在这种全新的力学体系里，“测量”将具有完全不同于它在经典力学里的含义，它不再是简简单单地把某个确定的值读出来，而是会改变系统的状态，会参与到系统的演化中去。这种全新的力学，自然就是大名鼎鼎的量子力学。06测量与状态意识到“测量会改变系统状态”是一个关键点，但仅仅知道这些还不够。你知道测量可以改变系统状态，那测量是如何改变系统状态的呢？系统原来处于这个状态，测量之后又会变成什么状态呢？你得把这些都搞清楚了才行。怎么搞清楚呢？当然还是回到斯特恩-盖拉赫实验。我们再走一遍第三组实验。一开始，银原子杂乱无序，什么状态都有，它们经过第一个z方向磁场后分裂成了两束。这时候，我们可以保守地下一个结论：向上偏转的那束银原子都自旋向上，向下偏转的那束都自旋向下。这个结论看起来很有道理，但对不对呢？我们刚刚踏进量子力学大门，下任何结论都要万分谨慎，因为以前的直觉到现在还不一定有效。我们想判断向上偏转的银原子是否都自旋向上，不能凭感觉，得去测量。怎么测量呢？你想知道银原子在z方向的自旋状态，让它通过z方向的磁场就好了。如果向上偏转的那束银原子在z方向的确都自旋向上，那它们再次通过z方向磁场时就不会分裂。这个实验其实我们已经做过了，它就是第一组级联斯特恩-盖拉赫实验（让通过z方向磁场的银原子再次通过z方向磁场）。实验结果也很清楚：它的确没有分裂！这样，我们才能下结论：在第三组实验里，银原子通过第一个z方向磁场之后，向上偏转的那一束的确都自旋向上。但是，这束银原子通过x方向磁场后，再次通过z方向磁场时，竟然又分裂了（最后那个惊天大分裂）。也就是说，经过第一个z方向磁场后，银原子们都自旋向上。但是，在经过第二个z方向磁场前，它们又变成了自旋向上和自旋向下都有的状态，为什么会这样？很明显，夹在这两个z方向磁场之间的只有一个x方向磁场，那这种变化就只可能是这个x方向磁场导致的。所以，第三组级联斯特恩-盖拉赫实验逼得我们不得不承认这样一个事实：银原子通过x方向的磁场后，它们就从z方向自旋向上的状态，变成了z方向自旋向上和自旋向下都有的状态。07死结这个结论虽然有点奇怪，但接受起来似乎也没那么困难。因为我们已经接受了“测量会改变系统状态”，那么，测量x方向自旋会稍微影响一部分银原子在z方向的自旋状态也不足为怪。但是，事情有这么简单么？我们继续往下挖。你觉得测量x方向的自旋会影响一部分银原子在z方向的自旋，让原来都是自旋向上的银原子变成一部分自旋向上，一部分自旋向下，然后就有了后面的分裂。但问题是：它会让哪一部分银原子的状态发生变化呢？大家都是平等的银原子，现在有人说你们挑一部分出来变成自旋向下，那我挑哪一部分？你挑哪一部分大家都会不服气，凭什么？大家都一样，凭什么选中它而不是我？为了把这个矛盾更加尖锐地暴露出来，我们再做一个假设：假设通过x方向磁场的银原子不是一束，而是一个，你猜结果会怎么样？通过x方向的磁场后，它在z方向的自旋会是向上还是向下？你敢肯定一定是自旋向上么？不，你不敢！因为我是随机取的一个银原子，如果你敢肯定这个银原子在通过x方向磁场后在z方向的自旋一定是向上，那其它银原子是不是也都可以同理可得？如果所有的银原子通过x方向磁场后，在z方向的自旋都变成了向上，那第二次通过z方向磁场后就不会有那个惊天大分裂了。同理，你也不敢肯定这个银原子在通过x方向磁场后，它在z方向的自旋一定向下。但是，这束银原子在通过x方向磁场后，的的确确变成了在z方向自旋向上和自旋向下都有的状态，否则，它们第二次通过z方向磁场时就不会再分裂。也就是说，面对完全相同的一束银原子，通过同样的磁场之后，你既不能肯定某个银原子一定自旋向上，也不能肯定它一定自旋向下。但是，这束银原子又必须包含了自旋向上和自旋向下两种状态，这样才会有后面的分裂。这看上去是一个死结，是一个无解的题目。因为这些银原子的状态都一样，但是，对其中的每一个银原子来说，它既不能是自旋向上，也不能是自旋向下。而实验结果又要求这束银原子里必须包含了自旋向上和自旋向下两种状态，否则，第二次通过z方向磁场后就不会有那个惊天大分裂，这怎么看都自相矛盾！怎么办？看起来确实是身处绝境，但绝缝中还有一丝可能性，虽然这种可能性看起来太过石破天惊，太过不可能，但除此之外似乎也别无他法。这种可能性就是：我们只能假设每个银原子本身就具有自旋向上和自旋向下的状态，它本身就处在自旋向上和自旋向下的叠加态。什么意思？08叠加态意思就是，我们不能再非黑即白地看待银原子的自旋。你不能认为一个银原子要么自旋向上，要么自旋向下，它也可以同时具备这两种状态，处于它们的叠加态。你去测量银原子的自旋，结果就既可能自旋向上，也可能自旋向下，一人分饰二角。只有这样，我们才能既满足“所有银原子的状态都一样”（都是自旋向上和自旋向下的叠加态），又满足“包含自旋向上和自旋向下两种状态”，从而解开上面的死结。以前，你以为一个人要么是步兵，要么是炮兵。现在，你发现他还可以是特种兵，可以既是步兵又是炮兵。一群完全一样的特种兵，一样可以根据战场需求立马“分裂”成步兵队和炮兵队，就像银原子第二次通过z方向磁场后分裂一样。如果银原子既可以处于自旋向上的状态，也可以处于自旋向下的状态，还可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态，那我们就可以认为通过x方向磁场后的每个银原子都是处于z方向自旋向上和自旋向下的叠加态。于是，第二次通过z方向磁场时，每个银原子都既可能向上偏转，也可能向下偏转，这样就分裂成了两束。这里的核心要点是：第二次通过z方向磁场前，并不是说有一半的银原子自旋向上，一半的银原子自旋向下，通过磁场后自旋向上的那一半向上偏，自旋向下的那一半向下偏。而是，每一个银原子都处于自旋向上和自旋向下的叠加态（状态都一样），每一个银原子在通过z方向磁场前都不知道自己将会向上偏还是向下偏，只有通过磁场以后才知道。虽然这两种情况都会让银原子分裂成两束，但本质却完全不同：前者并非每个银原子的状态都一样，而且每个银原子的自旋都是确定的，这在经典力学里也能出现；后者是每个银原子的状态都一样，都处于叠加态，是量子力学才有的情况。这样，我们就通过引入叠加态解开了那个死结，用一种比较合理的方式解释了第三组级联斯特恩-盖拉赫实验。跟叠加态相对，我们把银原子处于确定的自旋向上或自旋向下的状态称为本征态。也就是说，现在的银原子可以处于自旋向上本征态、自旋向下本征态以及自旋向上和自旋向下的叠加态。09重走实验引入了叠加态和本征态，我们再来走一遍第三组级联斯特恩-盖拉赫实验。银原子第一次经过z方向磁场后分裂成了两束，上面那束银原子自旋向上（因为第一组实验告诉我们，这束银原子再次通过z方向磁场后不会分裂），也就是都处于z方向自旋向上的本征态。我一再强调，“测量”在量子力学里具有完全不同于它在经典力学里的意义，它不再是一个单纯的显示器，而是要参与到系统演化中来。我们让银原子通过z方向磁场，这就是一次测量，测量什么呢？测量银原子在z方向的自旋。通过第一个z方向磁场前，银原子处于什么状态我们不知道，但经过磁场的测量后，向上偏转的那束银原子就处于z方向自旋向上的本征态，向下偏转的那束银原子处于z方向自旋向下的本征态。于是，我们发现：测量银原子z方向的自旋，会让银原子从原来的状态变成z方向的自旋本征态，测量会这样改变系统的状态。通过了第一个z方向磁场，上面那束银原子接下来要通过x方向磁场。同样，我们有理由相信，让银原子通过x方向磁场也会让它从原来的状态变成x方向的自旋本征态。通过x方向磁场后，银原子又分裂成了两束，很显然，向上偏转的处于x方向自旋向上本征态，向下偏转的处于x方向自旋向下本征态。而这束银原子能分裂，就说明它们在通过x方向磁场前必然是处于x方向自旋向上和向下的叠加态。于是，我们就把银原子通过x方向磁场前后的状态都搞清楚了：通过x方向磁场前，银原子处于x方向的自旋叠加态，同时还处于z方向自旋向上的本征态（因为刚通过第一个z方向磁场）；通过x方向磁场后，银原子处于x方向自旋本征态。也就是说，通过x方向的磁场后，银原子在x方向的自旋确实从叠加态变成了本征态，那z方向的自旋呢？通过x方向磁场前，银原子在z方向处于自旋本征态，那么，通过x方向磁场后，它在z方向的自旋会不会发生改变呢？10不对易咋一看，这个问题有些奇怪：我们让银原子通过x方向磁场，测量的是银原子在x方向的自旋，影响x方向的自旋就罢了，你z方向上的自旋来凑什么热闹？z方向的自旋还是哪凉快哪呆着去，你通过x方向磁场前在z方向是自旋本征态，那通过后就继续保持本征态好了，别瞎凑热闹。但是，仔细一想我们就发现不对劲了：在第三组实验里，通过x方向磁场的银原子接下来会第二次通过z方向磁场，并且发生分裂（就是最后的那个惊天大分裂）。银原子通过第二个z方向磁场后分裂了，就说明银原子在通过第二个z方向磁场前必然是处于z方向的自旋叠加态。而通过第二个z方向磁场前跟通过x方向磁场后是同一时刻，于是，在通过x方向磁场前后，银原子在z方向的自旋状态也都清楚了：通过x方向磁场前，银原子处于z方向自旋向上本征态；通过x方向磁场后（第二个z方向磁场前），银原子处于z方向的自旋叠加态。也就是说，测量银原子x方向的自旋（通过x方向磁场），不仅让银原子在x方向上从叠加态变成了本征态，也让银原子在z方向上从自旋向上本征态变成了叠加态。这是一个在经典力学看起来完全不可理喻的结论，你测量银原子x方向上的自旋，影响x方向的自旋就罢了，为什么还要影响z方向的自旋呢？这不是狗拿耗子多管闲事么？而且，如果测量x方向的自旋会影响z方向的自旋，那它还会影响其它力学量么？y方向的自旋会不会被影响？动量、位置、能量会不会被影响？如果测量一个力学量，所有的力学量都要被影响，那岂不天下大乱了？还好，事情并没有乱到如此不可收拾的地步，测量x方向的自旋虽然会影响z方向的自旋，但它并不是谁都招惹，它只招惹跟它不对易的力学量。如果两个力学量是对易的，它们就互相独立，先测量谁后测量谁不影响结果，它们可以有共同的本征态，可以同时测准；如果两个力学量不对易，它们就不独立，一般来说先测量谁后测量谁结果就不一样，它们没有共同的本征态，无法同时测准。很显然，x方向自旋和z方向自旋就不对易，所以测量x方向自旋会影响z方向自旋。测量x方向自旋后，银原子就处于x方向自旋本征态，同时也处于z方向的自旋叠加态。这时候，测量x方向自旋有确定值，测量z方向自旋就没有确定值了。因此，如果两个力学量不对易（比如x方向和z方向自旋，位置和动量），它们就没法同时处于本征态。系统处于一个力学量的本征态，测量这个力学量时能测准，另一个力学量就会因为处于叠加态而测不准。于是，你就没法同时测准它们，这就是所谓的不确定性原理。当然，关于不确定性原理，这里只顺便提一嘴。现在我们只要知道测量x方向的自旋不仅会让银原子处于x方向本征态，也会影响z方向自旋，让银原子在z方向上从自旋向上本征态变成叠加态就行了。这样，第三组斯特恩-盖拉赫实验就可以完全走通了：银原子通过第一个z方向磁场后变成了z方向自旋本征态，向上偏转的银原子通过x方向磁场后变成了x方向自旋本征态。与此同时，由于z方向和x方向的自旋不对易，它们无法同时处于本征态。所以，当银原子处于x方向自旋本征态的同时，在z方向就会从自旋向上本征态变成叠加态。于是，处于z方向自旋叠加态的银原子通过第二个z方向磁场后自然就分裂了，这就是最后的那个惊天大分裂，就是那个让经典力学百思不得其解的分裂。至此，斯特恩-盖拉赫实验就全部走通了。11量子力学可以看到，为了解释斯特恩-盖拉赫实验，我们引入了许多全新的假设。我们假设银原子可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态，假设测量会影响系统的状态，假设如果两个力学量不对易，测量一个力学量会影响另一个的情况……这些假设已经完全超出了经典力学的范畴，但顺着斯特恩-盖拉赫实验，你又会发现非如此不可。物理学家其实是很保守的，但凡经典物理修修补补还能用，大家也不至于掀桌子，量子力学是被逼出来的。有了这些全新的假设，我们就能定性地分析斯特恩-盖拉赫实验了。但是，光有定性的分析还不够，我们还要用数学语言定量地描述它们。比如，你说银原子可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态，那如何描述这种状态？系统处于叠加态还是本征态，测量自旋的结果会完全不同，那自旋这种力学量要如何描述？系统状态发生了变化，又要如何描述？等等。我们知道，系统处于不同的状态，测量力学量会有不同的结果：处于本征态，测量结果是确定的；处于叠加态，测量结果不确定。如果系统状态发生了变化，各个力学量的测量结果也会随之发生变化。在这样的语境下，系统状态就处在了一个非常核心的位置。所以，我们要先描述系统状态，那么，如何描述系统的状态呢？老办法，想知道量子力学里的情况，我们就先去经典力学看看。在经典力学里，我们是如何描述系统状态的呢？假设有两个苹果，一个在北京，一个在武汉，我们会觉得它们的状态不一样，因为位置不同。当然，就算它们的位置一样，但如果一个静止，另一个却在运动，我们还是会觉得它们的状态不一样，除非它们的位置和速度都相同。也就是说，在经典力学里，我们可以用物体的位置和速度（或动量）这样的力学量来描述系统的状态。如果两个质点的位置和动量（速度）都一样，它们在时空中的状态就被唯一确定了。在和牛顿力学等价的哈密顿力学里，我们会以位置和动量为横、纵轴构建一个叫相空间的东西，相空间里的一个点（有个确定的位置和动量）就代表了一个运动状态。与此同时，由于位置和动量都可以直接观测，我们又用这些可观测量来描述系统状态，那系统状态和可观测量之间就没啥区别了。另外，在经典力学里，无论系统处于什么状态，测量结果都是确定的，所以，测量结果和可观测量之间也没啥区别了。于是，在经典力学里，系统状态、可观测量和观测结果就都没啥区别了，都可以用位置和动量来描述。你想确定一个粒子的状态，确定它的位置和动量就好了；粒子的可观测量也是位置、动量；最后的观测结果，无非就是把位置和动量的值读出来。但是，量子力学里的观测结果却是跟系统状态有关的，系统处于本征态还是叠加态，观测结果会很不一样。自旋、位置这样的可观测量跟系统状态也不是一回事。这样的话，你再想用位置和动量打发它们三个就不可能了。那么，到了量子力学，我们要如何描述系统的状态呢？12系统状态能否还像经典力学那样，直接用可观测量来描述系统状态？比如，银原子的自旋可以取向上和向下，那我们就用S=0表示自旋向上的状态，用S=1表示自旋向下的状态，用这样的变量S来描述系统状态行不行？不行！如果银原子只处于本征态，我们确实可以用S=0描述自旋向上本征态，用S=1描述自旋向下本征态。但是，如果银原子处于叠加态呢？有人说，那我用S=0.5描述银原子处于自旋向上和向下的叠加态，用S=0.7表示测量时有更大概率自旋向下，用S=0.3表示有更大概率自旋向上，行不行呢？在这个特例里是可行的，但它无法推广。我们这里是碰巧自旋只能取S=0、S=1这样的分立值，如果现在讨论的不是自旋，而是位置呢？银原子的位置x本身就可以连续取值，x=0.3也只能表示某个位置本征态，那你要如何表示位置的叠加态？所以，想用一个变量S描述银原子的自旋状态是不行的，变量不够用。不够用怎么办？简单，一个不够用那就再加一个呗，反正又不费电。比如，我们可以用S0表示自旋向上本征态，用S1表示自旋向下本征态，如果银原子处于叠加态，我们就把它们加起来，用S=S0+S1描述叠加态不就行了么？如果想改变叠加的权重，调节S0、S1前面的系数就行了。比如，我们可以用S=0.6S0+0.8S1表示测量时有（0.6）²=0.36的概率自旋向上，有（0.8）²=0.64的概率自旋向下（为什么是平方大家后面会明白）。这样，不管力学量是取分立值（自旋）还是连续值（位置），我们都能描述叠加态了。你取几个值，我就弄几个变量，你处于什么样的叠加态，我就相应调节变量前的系数，再把它们加起来就完了。而且，当你把银原子的叠加态写成S=S0+S1这样时，如果S0前面的系数为0，那就是S=0×S0+S1=S1，这不就是自旋向下的本征态么？同理，让S1的系数为0也可以表示自旋向上的本征态。这样，叠加态和本征态就都可以用S=S0+S1的形式来描述，调节S0、S1的系数就可以表示不同权重的叠加态，本征态就可以看成一种特殊的（除它以外系数都为0）叠加态。所以，用S=S0+S1描述银原子的自旋状态是一个不错的选择。那么，当我们把系统状态写成S=S0+S1的时候，我们这是整了一个啥玩意出来了呢？有没有觉得有点眼熟？如果不够眼熟，那我把S0换成x，把S1换成y，这样S就可以写成S=x+y，这样总眼熟了吧？没错，这就是一个矢量啊！你看，如果我们把S0和S1看成横坐标和纵坐标，那它们就构成了一个平面，S=S0+S1就代表这个二维平面里的一个矢量。因为S0、S1的系数都是1，所以S=S0+S1就代表了从坐标原点(0,0)到(1,1)的一个矢量，记作S=(1,1)。也就是说，如果我们想在量子力学里描述系统的状态，用一个数是不行的，得用一个矢量。这个用来描述系统状态的矢量，就被称为态矢量。态矢量确定了，每个基矢的系数（坐标）就确定了，我们就能知道银原子是处于本征态还是叠加态，知道测量时有多大概率自旋向上，多大概率自旋向下。虽然不知道结果到底是自旋向上还是向下，但概率知道了，我们还能算出它的平均值。也就是说，态矢量确定了，虽然自旋的具体取值不确定，但它的平均值却是确定的。我们正是在这个意义上说态矢量完全描述了系统的状态，这跟经典力学完全不一样。但大家也清楚，自旋是粒子的内禀性质，就像质量、电荷一样，跟粒子在时空中的位置、速度无关。所以，当我们只考虑自旋时，粒子的自旋态空间其实是一种内部空间。如果我们不考虑自旋，而是考虑粒子在外部时空中的运动情况，那就要看它的位置和动量了。银原子的自旋可以取两个值，我们用S=S0+S1表示它的状态，这是一个二维的态矢量，对应的自旋态空间是一个二维空间。而位置可以取无穷多个值，我们就要用S=S0+S1+S2+……表示它的状态，这是一个无穷维的态矢量，对应的态空间一个无穷维空间。如果你既想描述粒子的自旋，又想描述它在外部时空的情况，那就得把这两个态空间“加”起来，在数学上就是对它们做一个张量积。由此可见，大家常见的矢量都在二维、三维欧式空间里，而态矢量却可以在无穷维空间。另外，量子力学里的态矢量不再局限于实数，而把范围扩大到了复数。这部分数学内容我不打算多讲，大家只要知道态矢量所在的空间并不是欧式空间，而是一个范围更大的空间就行了。这个空间，我们称之为希尔伯特空间，态矢量是希尔伯特空间中的矢量。也就是说，在量子力学里，我们用希尔伯特空间中的矢量描述系统状态，这是我们第一个非常重要的结论。13力学量知道如何描述系统状是一个巨大的进步，但这里有个问题：描述系统状态的是希尔伯特空间中的矢量，而它是无法直接观测的。你想想，态矢量是二维、三维、N维，甚至无穷维空间中的一个矢量，你能直接观测么？不能！在经典力学里，我们用位置和动量描述系统的状态，而位置和动量本身就可以直接观测。到了量子力学，描述系统状态的是希尔伯特空间中的态矢量，而它无法直接观测，可以直接观测的是自旋、位置、动量这些力学量。所以，如果你的理论不想跟实际脱节，那就得想办法描述这些力学量。我们用态矢量描述系统状态，那自旋、位置、动量这些力学量要如何描述呢？我们知道，测量自旋的结果跟系统状态有关：银原子处于本征态，测量结果是对应的本征值；银原子处于叠加态，测量结果就有可能是自旋向上，也有可能自旋向下。如果态矢量确定了，每个基矢前面的系数（坐标）就确定了。系数确定了，测量时是各个结果的概率也就确定了。如果概率分布确定了，力学量的平均值也就确定了。而平均值，是可以直接观测的，这一点很重要。也就是说，虽然态矢量无法直接观测，力学量在一般情况下也没有确定值。但是，如果态矢量确定了，力学量的平均值就确定了。态矢量无法直接观测，但力学量的平均值可以直接观测啊，我们可以从这里入手。由于自旋没有经典对应，不方便理解，我们来看看大家更熟悉的位置。假设电子只能处于x=1和x=2两个位置，跟自旋类似，如果电子处于位置叠加态，测量位置时就有一定概率发现电子处于x=1处，有一定概率发现电子处于x=2处。如果两种概率都是50%，那位置的平均值就是x=1×0.5+2×0.5=1.5；如果处于x=1的概率是70%，处于x=2的概率是30%，那位置的平均值就是x=1×0.7+2×0.3=1.3。可见，态矢量确定后，概率分布也就确定了，虽然每个电子的位置依然不确定（可能在x=1，也可能在x=2），但位置的平均值却确定了（两个态矢量分别对应x=1.5和x=1.3）。这里要说明一下，经典力学里测量平均值的方法，通常是测一次记下一个数，再测一次，再记下一个数，最后求平均。但在量子力学里却不能这么干，因为量子力学里的测量会改变系统的状态。电子处于某个叠加态，你测一下位置，它就会变成某个位置本征态，你再去测量这个处于位置本征态的电子，测量结果就会一直是这个本征值，这显然就不对了。所以，如果你想测量处于叠加态电子的位置平均值，就得提前准备许多和它状态完全相同的电子，然后分别测量每一个电子的位置。测量一个就记一个位置（注意，每个电子只测一次），然后测下一个电子，最后对所有的位置求平均，这样才能测出这个状态下的位置平均值。于是，我们就清楚了：如果系统状态确定了，虽然力学量不一定有确定值，但力学量的平均值却一定是确定的。而平均值又可以直接观测，这样，我们就在系统状态和可观测量之间架起了一座桥梁。在量子力学里，系统状态是用希尔伯特空间中的矢量来描述的。现在我们想求这个状态下的力学量平均值，就必然要对这个矢量进行一些操作，让它产生一个实数（平均值）。那么，能对矢量进行操作、变换的东西是什么呢？是算符！算符可以作用在一个矢量上，把它变成另一个矢量。比如，我们把一个矢量平移到另一个地方，完成这个操作的就叫平移算符；把一个矢量旋转一下变成另一个矢量，就叫旋转算符；把一个矢量投影到某个坐标轴，就叫投影算符。也就是说，如果我们测出了电子在某个状态的位置平均值，现在你要用算符对描述这个状态的态矢量进行一番操作，让态矢量“吐”一个实数出来（当然，算符直接作用在矢量上只能得到另一个矢量，想得到一个数还得借助它的对偶矢量，这里我们不细说），并且让这个实数就等于我们测量得到的位置平均值。这样的话，看起来就是有一个算符作用在态矢量上，经过一番操作后得到了位置的平均值。在这个意义上，我们说这个算符描述了位置这个力学量，叫它一声位置算符不为过吧？在数学上，算符可以用矩阵来表示，一个矢量跟一个矩阵相乘，其结果还可以是一个矢量，这就相当于对矢量进行了一个变换。在各种变换里，有一种变换很特殊：它对某个矢量进行变换的结果，就好像是把原矢量拉长或缩短了一定倍数。当然，矩阵的这种变换只对一些特殊的矢量成立，我们把这些特殊矢量叫做这个矩阵的本征矢量（特征矢量），这个拉长或缩短的倍数就叫本征值（特征值）。名字都取成这样了，相信大家不难看出它跟量子力学的关系。在量子力学里，我们用矢量描述系统状态，用算符描述力学量。而算符又可以用矩阵来描述，于是，对算符A来说，也可以出现当它作用在某个态矢量|Ψ>上时，就好像把这个态矢量|Ψ>拉长了a倍。写成方程就是：A|Ψ>=a|Ψ>，这就叫算符A的本征方程，|Ψ>是本征态，a就是对应的本征值。需要注意的是，这个方程左边的A是一个算符，用矩阵来描述，右边的a是一个数。所以，你可千万别把方程左右两边的|Ψ>给约去了，然后得到A=a（很多初学者容易闹这样的笑话）。于是，数学和物理就对上了：我们用矢量描述系统状态，用算符描述力学量。算符可以写成矩阵的形式，而矩阵有对应的本征矢量和本征值，它们就对应了本征态以及测量力学量时可能出现的结果。这样的话，你想知道力学量可以取哪些值，解对应算符A的本征方程A|Ψ>=a|Ψ>就行了。你想知道力学量在某个状态下的平均值是多少，用算符A作用在对应的态矢量上，经过一些操作也能算出来。而且，不同算符之间一般不能交换次序，也就是我们前面说的不对易，这是量子力学非常重要的一个特点。这样，只要知道了算符的情况，就能知道对应力学量的情况。于是，我们就得到了第二个极为重要的结论：在量子力学里，我们用算符描述力学量，而且不同算符之间一般不能交换次序。由于力学量和测量密切相关，因此，第三个极为重要的结论是关于测量的：我们测量一个力学量，测量结果只可能是对应力学量算符的本征值之一。这个结论几乎不用作过多说明，因为我们一直就是这么干的。我们早就知道测量银原子的自旋会让系统从叠加态变成某个本征态，测量结果就是对应的本征值。现在，我们只不过是知道了，原来这些本征态和本征值是跟一个算符对应起来的。在斯特恩-盖拉赫实验里，自旋对应的算符是泡利矩阵，解泡利矩阵的本征方程就能得到两个本征矢量和两个本征值，分别对应自旋向上和自旋向下。去测量银原子的自旋，结果也只能是泡利矩阵的两个本征值之一。当然，由于测量结果必须是实数，这对算符会有一定的要求（必须是厄米算符），具体概率也都可以算，这些就不细说了。这样，力学量问题就圆满解决了。14静态的图像此时，如果这里有个电子，我们就能知道如何描述电子的状态，知道如何描述它的力学量，也知道力学量可以取哪些值，对应的概率是多少，平均值又是多少，我们知道了电子此刻的一切。如果你是一位画师，你可以把电子此刻的物理图像画下来，但是，也仅仅是画下此刻的一帧图像。因为你并不知道电子在下一刻的状态，于是就不知道下一刻的概率分布，不知道下一刻的力学量平均值，也就没法画出下一刻的物理图像。所以，我们现在描绘的是一幅静态的量子图像，它不能动。如果我们想让静态的量子图像动起来，想描绘运动变化的量子世界，就得知道系统下一刻会处于什么状态。也就是说，我们必须知道系统状态是如何随时间变化的，知道如何根据系统此刻的状态求出它下一刻的状态，这就是量子动力学的问题。那么，如何找出系统状态随时间的变化规律呢？能从上面的结论推出来么？不能，因为我们现在只知道要用矢量描述系统状态，并不知道它如何随时间变化。还是老规矩，想知道量子力学里的情况，我们先去经典力学里看看。在牛顿力学里，知道了物体的位置和速度，就知道了物体的状态。如果你还想知道物体下一刻的状态，也就是想知道物体下一刻的位置和速度，要怎么做呢？很简单，学过中学物理的朋友都清楚（不清楚的可以先看看《什么是高中物理？》）：想知道物体在下一刻的位置和速度，就得先找到物体受到的合外力F，然后利用牛顿第二定律F=ma算出物体的加速度a。有了加速度，我们就能根据物体此刻的速度算出它下一刻的速度，进而求出下一刻的位置。于是，我们就知道了物体在下一刻的状态。也就是说，我们之所以能求出物体下一刻的状态，关键就在于牛顿第二定律F=ma。正是因为有了F=ma，我们才能根据物体此刻的位置和速度求出它下一刻的位置和速度，才能知道系统的状态会如何随时间变化，才能描绘出物体的运动图像。同理，如果我们想让量子图像也动起来，想知道量子力学里的系统状态如何随时间变化，我们也要找一个类似牛顿第二定律F=ma这样的方程。那牛顿第二定律是怎么来的？它是从牛顿力学的其它结论推出来的么？当然不是！每个理论都有一些最基本的假设，它们是这个体系里最底层的东西，是推不出来的（当然，如果以后发现了更深刻的理论，有了更基本的假设，能从那里把这些假设推出来，那就是另外一回事了），它们的正确性只能由实验来保证。很显然，牛顿第二定律F=ma就是牛顿力学的一个基本假设。同样的，量子力学里描述系统状态随时间变化的方程也应该是一个基本假设，它也没法从量子力学的其它结论里推出来，它的正确性也只能由实验来保证。1925年，在白雪皑皑的阿尔卑斯山，在各种新思想的刺激下，在一位神秘女子的陪伴下，有个人得到了这个描述系统状态随时间变化的方程，得到了这个相当于牛顿力学里F=ma的方程，这就是大名鼎鼎的薛定谔方程。写出这个方程的大佬，自然就是薛定谔。15薛定谔的工作相信大家都听过薛定谔方程，各种科普书也会提到它。但是，大部分人都只知道薛定谔方程很重要，却不知道它为什么重要，也不知道它到底在讲什么。现在大家心里有数了：薛定谔方程是描述系统状态随时间变化的，它能让静态的量子图像动起来，就像牛顿力学里的F=ma一样，重要性不言而喻。那么，薛定谔方程是如何描述系统状态随时间的变化的呢？我们知道系统状态用态矢量来描述的（第一个结论），我们采用狄拉克的记号，把态矢量记作|Ψ>。这样，你想知道系统状态如何随时间变化，就是想知道态矢量|Ψ>在不同时间t会取什么样的值，这就是一个关于时间t的函数，我们记作|Ψ(t)>。t取不同的时间，|Ψ(t)>就会有不同的取值，这不就是态矢量|Ψ>随时间变化的规律么？所以，薛定谔方程想描述系统状态随时间的变化，就是要说明|Ψ(t)>应该遵守什么样的规律。那么，它会遵守什么样的规律呢？由于薛定谔方程是量子力学的基本假设，无法从其它结论里推出来，那就只能靠“猜”了。当然，这不是乱猜，而是要基于事实分析，利用缜密的逻辑和合理的想象提出一些假设，然后用实验来验证。薛定谔当年主要是看到了“光学和力学之间的相似性”，进而把光学的一些结论推广到了力学，最终得到了薛定谔方程。他是怎么做的呢？首先，薛定谔注意到几何光学是波动光学的短波长极限。这个好理解，当光的波长越来越短时，光波看起来就越来越像光线，波动光学自然就慢慢趋近于几何光学。然后，薛定谔注意到，作为几何光学基本方程的程函方程跟分析力学里的哈密顿-雅克比方程非常相似。于是，薛定谔就想：如果几何光学是波动光学的短波长极限，那么，跟几何光学相似的分析力学会不会也是某种波动力学的极限？也就是说，有没有可能说我们现在的力学只是“几何力学”，它只是某种波动力学的极限（就像几何光学只是波动光学的极限那样）？并且，这种波动力学里某个方程的短波长极限，刚好就是“几何力学”里的哈密顿-雅克比方程？答案我们都知道，这种波动力学就是量子力学，薛定谔方程的短波长极限就是哈密顿-雅克比方程。当然，这不是什么巧合，并不是说薛定谔无意中发现了一个方程，然后这个方程的极限刚好就是哈密顿-雅克比方程。而是反过来：薛定谔就是要找一个极限是哈密顿-雅克比方程的东西，然后才找到了薛定谔方程，而这种波动的力学就是量子力学。按理说，这种想法是非常自然的。物理学家只要注意到了程函方程与哈密顿-雅克比方程的相似性，知道几何光学和波动光学的关系，考虑是否存在一种波动力学就是很自然的一件事。那么，为什么直到薛定谔才开始认真考虑这个事呢？其实，哈密顿本人就注意到了光学和力学之间的这种相似性，因此也有人说哈密顿距离发现薛定谔方程只差临门一脚。但是吧，物理毕竟不是数学，它是要对现实负责的，并不是说逻辑上成立东西现实中就一定存在。在当时，光的波动性已经取得了广泛的共识，但谁会认为力学，认为石头、苹果也具有波动性？而且，当时经典力学也运行得非常好，人们对它信心十足，谁会跑去倒腾什么波动的力学？然而，到了薛定谔这会儿，情况就完全不一样了。经典力学已经受到了严重的挑战，量子革命正在如火如荼的进行着，德布罗意也提出了革命性的物质波思想。这时候，考虑一般物体的波动性，考虑是否存在一种波动力学，使得现有的力学只是波动力学的极限就有了非常现实的基础。于是，薛定谔就开始思考，如果现在的力学只是某种波动力学的极限，那现在的哈密顿-雅克比方程会是哪个波动方程的极限呢？答案大家都知道，它就是大名鼎鼎的薛定谔方程。也就是说，如果我们让薛定谔方程取短波长极限，也就是让普朗克常数h趋近于0，它就会回到分析力学里的哈密顿-雅克比方程。所以，如果你想了解薛定谔方程，最好先了解一下分析力学。16薛定谔方程当然，这篇文章是科普量子力学的，这里也只能非常简单地讲一点分析力学，让大家知道为什么薛定谔方程会写成这样就行了。至于分析力学的具体内容，以后再说，怕错过的盯着我的公众号就行。简单来说，分析力学是一套跟牛顿力学完全等价的力学体系，它并没有什么新东西，只是描述方式跟牛顿力学不太一样。牛顿力学的核心是力，我们分析物体的运动时要先受力分析，然后利用牛顿第二定律F=ma计算物体的运动情况；分析力学的核心是能量，我们不需要对物体进行复杂的受力分析，只要选择合适的广义坐标，找到系统的拉格朗日量L或哈密顿量H（这俩知道一个就能求出另一个），代入拉格朗日方程或哈密顿方程就能求出物体的运动情况。因为力是矢量，分析时要考虑大小和方向，而能量是标量，只考虑大小就行了。所以，在环境比较复杂，约束条件比较多的时候，从能量入手的分析力学往往会简单很多。当然，如果分析力学仅仅是一个更好用的牛顿力学，一个处理复杂问题更加简单的牛顿力学，我们似乎也没必要花很大精力去研究它。分析力学最大的优点，是它处理问题的这套方法可以很方便地推广到经典力学以外，不管是电磁场还是量子力学都可以这么处理，而牛顿力学却不行。这是拉格朗日、哈密顿等分析力学创始人们始料未及的。也就是说，牛顿力学处理问题的那一套方法没法直接搬到量子力学，我们在量子力学里也不会对物体进行受力分析，而是要用分析力学的那一套。在分析力学里，只要知道了系统的哈密顿量H，把它代入哈密顿方程就能求出系统的运动情况，量子力学也是这样。也就是说，在量子力学里，如果我们知道了系统的哈密顿量，把它代入一个方程，就能知道系统的状态会如何变化。在一般情况下，系统的哈密顿量H在数值上等于动能加势能，也就是系统的总能量。因为能量也是一个力学量，量子力学用算符描述力学量，所以，哈密顿量H进入量子力学之后也要入乡随俗地变成哈密顿算符H。而我们又知道，在量子力学里描述系统状态随时间变化|Ψ(t)>的正是薛定谔方程。因此，如果把哈密顿算符H代入某个方程就能知道系统状态随时间的变化情况，那这个方程自然就是薛定谔方程。所以，薛定谔方程就是这么一个东西：你给出系统的哈密顿算符H(t)，把它代入薛定谔方程，求解方程就能得到系统状态随时间的变化|Ψ(t)>。具体形式如下：可以看到，薛定谔方程的主体就是哈密顿算符H(t)和系统状态随时间变化|Ψ(t)>的一个关系，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数（ℏ=h/2π），读作h
2022年1月27日