【雪中送炭】函数的单调性------超全的一篇汇总，没有之一！！！

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单调性的基础知识点

单调性定义：

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。备注：用定义表示函数单调性的两种变式：单调性定义的理解：需要准确理解单调性定义中的“任意”两个字，不能仅仅通过定义域内的一组或几组函数值的大小比较来判断整个定义域内的单调性。

谨防误区：

很多学生看到这个图像之后认为，函数在定义域内是单调递减的，这种说法是不正确的！！！结合图像可知，此函数不是连续的，在“x＞0部分f(x)的值”均比“x＜0部分f(x)的值”大，这与减函数的定义相矛盾。准确的说法应该是f(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减。

备注：如果函数f(x)单调性相同的区间不止一个时，不能用并集表示，区间之间要用“和”或者"，"隔开。例如上面的反比例函数，f(x)的单调递减区间应写成：“(-∞，0)和(0，+∞)”或者“(-∞，0)，(0，+∞)”，切记不可以写成：(-∞，0)∪(0，+∞)。

同理对于正切函数y=tanx，同样不能笼统的说它是单调递增函数，因为这个函数同样是不连续的，只能说它是在特定区间内是单调递增的。

单调性的判断方法

单调性的判定方法主要有两种：定义法和导数法

   定义法   

利用定义法求函数的单调性，主要分为一般函数和抽象函数这两大类。

一般函数

证明单调性步骤：

①设点，任取x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂；

②作差，f(x₁)-f(x₂)

③化简，常用因式分解，通分，分子有理化，配方等方法

④判断，判断f(x₁)-f(x₂)与0的大小

⑤结论，说明f(x)在给定区间D上的单调性

抽象函数

针对抽象函数的单调性，同样需要利用定义法构造“f(x₁)-f(x₂)”的模型，通过确认它们差值的正负，最终得到函数单调性的情况。备注：如果f(x)＞0或者f(x)＜0，还可以构造“f(x₁)/f(x₂)”的模型，通过判断它们比值与“1”的大小，从而确定函数单调性的情况。备注：针对抽象函数求解x的取值范围问题，通常需要借助函数的奇偶性，特殊值，或者构造函数等工具，最终转化为下面的模型：再结合函数本身的单调性来确定x的范围。   导数法   

导数法：在某个区间(a，b)内，如果f’(x)＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f’(x)＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

利用导数法求函数的单调性，同样分为一般函数和抽象函数这两大类。

疑问解答：① 为什么利用导数法求解函数的单调递增、递减区间，需令f’(x)＞0或f’(x)＜0，而不是f’(x)≥0或f’(x)≤0？因为假如f(x)为常数函数，可得f’(x)=0，则f’(x)≥0或f’(x)≤0均成立，但实际上常数函数f(x)无单调性。另外如果题目中已知f(x)为单调递增或递减函数时，求某参数的取值范围时，对f(x)求导后，可得：f’(x)≥0或f’(x)≤0，这里为什么就可以取等号呢？因为题目条件明确说明了f(x)为递增或递减函数，此时需要加上“=”号。注意区分这两者的区别。② 针对函数单调区间是要用开区间还是闭区间呢？根据上面导数法求解函数单调递增、递减区间，是令f’(x)＞0或f’(x)＜0，可知得到的单调区间应该是开区间，如果在单调区间的端点处，函数连续，此时取闭区间也是可以的，即取开区间或者闭区间都是正确的，因为函数图像上的某一个点决定不了整个函数的单调性。

抽象函数：

常用结论

函数单调性常用结论

1. 函数单调性的运算法则

2. y=f[g(x)]复合函数的单调性规则

3. 奇函数和偶函数的单调性情况

4. 反函数单调性情况

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