参考文献：
1、Frank W Warner《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Group》
2、William M. Boothby《An Introduction to Differentiable Manifoldsand Riemannian Geometry》
本文我们继续探索微分流形（Differentiable Manifolds），是对上一篇文章《现代微分几何中的光滑流形及其上的映射》的延续.
3、切向量
例1：考虑平面即二维欧式空间上的单位圆，方程为 圆上一点为 向量函数 的图像含于单位圆，其中 于是
单位圆在点 处的切线方程为 即向量函数 的图像，其中
又因为故
设 是 上 的邻域 是 上在 处可微的向量函数，则 的图像是某一曲线的局部，且这一曲线在 处的切线是向量函数 的图像，其中
例2：再考虑空间即三维欧式空间上的单位球面，方程为
球面上一点为
向量函数 的图形含于单位球面，其中
于是
单位圆在点 处的切平面方程为 即向量函数 的图像，其中
又因为
所以
设 是 上 的邻域 是 上在 处可微的向量函数，则 的图像是某一曲面的局部，且这一曲面在 处的切平面是向量函数 的图像，其中
有了上面两个例子后，就可以引入光滑流形上一点处的切向量的定义：
设 是 维光滑流形 是 的相容坐标卡，映射 上的一点 则复合映射 因此它具有连续可微性. 且满足对于任意 成立 在 处 阶连续可微，则称 在 处光滑，将这样的 的全体记为
对于上述 和 定义 的线性运算
以及乘法运算
因此设 是 维光滑流形，点 映射 对于任意 和 满足：
（1）
（2）
（3）
称 是流形 在点 处的切向量。
例3：现在重新考虑例1中给出的单位圆 它是一个一维光滑流形.
由前面的 给出了 的一个相容坐标卡 使得 其中
设 则利用求导法则可以验证，定义在 上的映射
， 对于任意 和 满足
（1）
（2）
（3）
因此 是 在 处的切向量.
例4：再重新考虑例2中的单位球面 它是一个二维光滑流形.
由前面的 给出了 的一个容许坐标卡 使得 其中
设 则利用求导法则可以验证，定义在 上的映射
分别满足上述（1）、（2）和（3）三条性质，所以 分别是 在 处的切向量.
4、切空间
首先来看一个例子.
设 是三维欧式空间上的单位球面，方程为在 上取一点点 位于 上的局部 其方程为
在二维欧式空间上取一个矩形开区域
在 上取一点构造映射 表达式为
则映射 是双射，它的逆映射 的表达式为
可以证明映射 和它的逆映射都光滑映射，以及
说明：在多元微积分中，主要的研究对象是欧式空间上的开集上的光滑函数，这里的光滑性指的是函数具有任意阶连续偏导数.称一个映射是光滑同胚，是指它是双射，且它和它的逆映射都是光滑映射。
由于映射 是 的光滑同胚，从而为了研究映射 只需研究复合映射 并且 是二维欧式空间上的开集，则可以用 的光滑性给出 的光滑性.将满足 是 上的光滑函数的映射 的全体记为 指定关于 的三种运算，对于任意 和 满足：
将 在 处的偏导数看作是 在 处的偏导数，即
由此构造出映射 表达式为
由求导法则可知，对于任意 和 成立
因此映射 是 在 处的切向量，同理，映射 也是曲面 在 处的切向量.
然后就可以讨论曲面 在 处的切向量的全体构成的集合 的结构问题.
定义 的两种运算，对于任意 和 满足
则证明 构成了一个线性空间，并且 正是 的一个基. 从而 是曲面 在 处的切向量的充要条件是存在 使得
即 是 在 处的一个方向导数，即
故有
于是计算出集合
故曲面 在点 处的切平面的方程是 即是由点 加上向量 的线性组合生成的平面. 曲面 作为二维光滑流形，在点 处的切空间是二维线性空间
将集合 进行抽象，进一步推广该结论：
设 是 维光滑流形，取 的一个相容坐标卡为 点 将定义在 在 处的邻域上且在 处光滑的函数的全体记为 将 在点 处的切向量全体构成的集合记为 另取 在 上指定线性运算如下：
则 构成了一个 维线性空间，称为 在点 处的切空间，且它的一个基是
5、光滑切向量场
现在考虑整个流形上的性质. 在 维欧氏空间上，取一个 元光滑函数 它在方向 上的方向导数可以表示为
其中 是 的分量. 是一个向量函数，在 上具有表达式
向量函数 为 上的每一点指定了一个向量，故看作是一个向量场，并且它的每个分量是一个光滑函数，所以说它是一个光滑向量场. 且 为 上的每一点指定了一个切向量
则称 是 上的一个切向量场.
上式中的 是常数，但如果现在令 不是一个固定的向量，而是一个向量函数或者一个向量场，那么 也就成为一般意义上的函数。此时 仍然是 上的一个切向量场. 当 全都是光滑函数时， 是 上的一个光滑切向量场.
接下来讨论在一般的光滑流形上的切向量场.
构造集合 在 上的每一点 处指定一个切向量 构造出一个 的映射
根据切空间的自然基底，在 的每一点 处，存在 的一个相容坐标系 使得则 分量 是 上的函数， 在 上有局部表达式
此时称切向量场 是光滑切向量场，是指 使得这样的 都是光滑函数，其中 是 的分量.
然而并不是所有 的映射都是流形 上的切向量场，因为它需要满足在流形 上的每个点处指定在此处的切向量.
将光滑流形 上的全体光滑切向量场构成的集合记为 由于向量函数和切向量场都可以看作是从空间到空间的映射，只不过向量函数是将同一个线性空间上的点映到同一个线性空间上，但是切向量场是将流形上的点映到不同的线性空间上.故在切向量场上可以定义加法和数量乘法.
在向量函数中对于 ，有 则在切向量场中对于 有
在向量函数中对于 和 有 则在光滑切向量场，不再将它乘实数，而是乘流形上的光滑函数，故对于 和 有 因此 也是线性空间，只不过不是 上的，而是 上的.
对于光滑切向量场 由于 有 也可以将光滑切向量场看作
成立. 即令 则 是一个 的映射.
在流形 上， 和一个集合之间满足双射，它所含的元素是 的映射 满足对于任意 和 满足：
（1）
（2）
（3）
可以发现，切向量和切空间的线性运算和乘法运算，也可以移植到光滑切向量场，故可以将光滑切向量场看作是 的映射.
暂时先写到这里吧……
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