声明：从前几天开始，小编就在一直学习纤维丛理论，今天整理出来一篇《Fibre Bundles 专题——纤维丛上结构群的性质和主丛的同伦类》，本文篇幅较长，耗时2天（主要是小编给自己挖了个巨坑），希望读者能喜欢.
参考文献：
1、Dale Husemoller. 《Fibre Bundles》. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 20.
2、Steinar Johannesn. 《Smooth Manifolds and Fibre Bundles with Applications to Theoretical Physics》
上一篇《Fibre Bundles 初探》中已经介绍了纤维丛理论中的一些相关概念，本文在前面的基础上继续讨论.
1.丛
令 和 是拓扑空间， 是连续满射，那么称三元组 是一个丛，并且称 是全空间， 是基空间， 是投影， 是 的纤维， 是一个丛.
若 ， 且 ，称 是 的子丛. 若 ，称 是丛的一个截面或整体截面. 是子丛 的截面当且仅当任意 使 .
若 ，称两个丛之间的两个连续映射 和 的偶 是一个态射.
交换图为
若两个丛的基空间 相同，那么只需要一个连续映射 ，此时若 则称 是-态射. 若 是丛， ， ，那么称 是丛 在 上的限制.
两个丛的乘积定义为 ，其中 . 若两个丛的基空间 相同，定义两个丛的直和为 ，其中 是所有满足 的 的集合，这样定义的纤维满足 ，故两个丛直和称为纤维积.
令 是一个丛， 是连续映射，并记 ，定义 ，那么 是一个丛，记作 ，称它是 以 诱导的丛.
2.结构群
在光滑流形为基空间的向量丛上定义的图，称为光滑局部平凡化，如果两个参数域重叠的图之间的转移函数 ，满足 ，其中 和 是两个光滑局部平凡化， 称 是交叠区上定义的映射.
设开覆盖 覆盖了基空间 ，即 是一个图册，则得到了一组转移函数 ，对于转移函数，首先由，得到 ，其中 .
再由 可得到 是阶单位矩阵，然后由 可得 .
其中 的位置称为逆矩阵或群内元素的逆元，若写成 则称为 的映射，而 并没有意义，根据上面的结论可以定义 是一个群，即向量丛的结构群. 群的构造说明转移函数 是丛的基本性质，因此只要给定了群 就能给出丛.
接下来考虑一般的纤维丛 .假设全空间 ，基空间 ，纤维空间 都是拓扑空间，且存在连续满射 ，以及开覆盖上 定义的同胚映射 ，现在再加上由 的同胚组成的结构群 ，结构群中转移函数 有如下性质：
（i） ；
（ii） ；
（iii） .
另外还有 ，则 成立，其中有 . 由于向量丛的特殊性，其纤维空间是 ，所以其结构群必定是 .
现在假设同一组基空间的开覆盖 上定义了两个图册 和 ，那么有两个结构群 和 ，从矩阵的角度来看，这相当于同一个矩阵在两组基下的不同表示，故存在相似矩阵 .
然后令 满足 ，由于 ，故有 ，从而有 ，又由于 ，即 ，故 . 则证明了为相似变换.
若 ，则有 . 称这样的两组结构群 和 是等价的。根据群结构等价的定义，若 ， ，显然有 ， .
根据上面的讨论可以得到下面的定理.
定理1： 同一基空间上的纤维丛 和 分别有同一个开覆盖 上的结构群 和 ，那么当且仅当两个纤维丛同构时这两个结构群等价.
定理1表明，若给定基空间 ，纤维空间 和结构群 ，那么纤维丛在同构的意义上唯一确定. 由于给定 就唯一确定了全空间 ，那么接下来就来构造 .
设 和 ，且 是 的一组开覆盖，要构造的是全空间 ，投影 和平凡化 。
由于每个转移函数实质上是全空间上定义的一个等价类，即 若 ，令 ，记 中元素为 ，对于 和 ，当 时有等价关系 ，若 且有 .
令 是商空间 ，且定义 是投影，由于 ，可以定义局部平凡化 .
首先证明 .令 ，那么有 . 根据转移函数的定义，有 ，又因为 ，从而有 ，因此证明了 .
接下来证明 ，其中 满足 . 跟据局部平凡化的定义可知， 成立是显然的. 最后再根据定理1就完成了唯一的纤维丛的构造.
3.主丛
由于切丛和余切丛都是向量丛，这表明纤维空间 ，结构群 . 根据切向量和余切向量的转移性质，令 ，那么切丛的转移函数是 ，而余切丛的转移函数是 . 在矩阵的意义下，转移函数满足 .
张量丛 ，其纤维是 ，但根据张量的变换规则，结构群并不是 ，而只能是它的一个子群 ，并且 . 而根据张量积的定义，转换函数是 .
接下来介绍标架丛. 活动标架的定义是切丛上标准标架的线性组合 ，是 的映射，并且在固定点 之后有 . 若取 的某个邻域同胚于 ，则在点 处的活动标架可以看作是 的映射. 然后把点 处的全部标架的集合记作 ，再把所有 并起来得到 ，称它是标架丛，它的截面就是标架场 .
Lie群 在标架丛上有右作用 ，即标架的变换 ，其中 ，这说明是标架丛的结构群. 根据局部平凡化的定义，即 ，则局部平凡化的性质就能显式写出，即 ，其中 ，此时局部平凡化是 的映射，即纤维空间也是Lie群 . 因此标架丛的纤维空间和结构群相同.
然后就可以定义主丛. 若拓扑群 的满足 有 的连续右作用 是自由传递的，并且基空间与商空间同胚 ，投影 是商映射 ，称纤维丛 是主丛或-主丛. 由于 ，和商空间 完全相同，故标架丛是主丛.
由于结构群是一个丛最基本的性质，因此可以通过结构群来构造主丛. 令 是拓扑群， 是拓扑空间，并且定义了连续右作用 ，称 是一个右 空间，记任意 的等价类或轨道为 ，并根据 定义 ，则是一个开映射并且是连续满射，从而可知是商映射.
接下来定义每个右 空间 诱导了一个丛 的纤维结构. 若右 空间 是自由的，即 仅当 ，此时定义一个集合 ，其中 ，同时定义 满足 ，则有 ， 和 ，这就是转移函数的性质，故称 就是转移函数， 是结构群. 若 是连续的，则可以定义主丛 .
若 ，则有主丛 . 现在令 是左 空间，即 上定义了左作用 ，那么可以在乘积 上定义右 作用 ，于是就可以定义等价类 ，并记 ，有 .
然后来证明 具有纤维丛结构. 显然 是连续满射，故只需证明局部平凡化 是同胚，问题转化为证明 ， 和 是同胚的. 于是令 使 ，并令 满足 ，由于 ，所以有 . 而现在只需要构造 的一个连续逆映射，由于商映射的性质，只需要构造满足 的连续映射 ，那么 就是 的连续逆映射，其中 是商映射. 事实上这样连续映射 确实存在，且有 ，根据 即可证明.
定义 是与主丛相伴的纤维丛，并且称 是伴丛的典型纤维. 由于 是给定的，故在同构意义上唯一确定了相伴的纤维丛. 反之也可以由纤维丛可以导出主丛.
记 是 导出的主丛 ，如果令 是切丛， 是标架丛. 当 时，此时主丛是它本身的伴丛. 如果取基空间 为维光滑流形 ，结构群为Lie群 ，典型纤维为 ，那么切丛可看作活动标架丛的伴丛，即 ，且有 .
4.平凡丛
下面介绍在向量丛上定义的丛态射和子丛的概念.
两个丛之间的态射是两个连续映射的偶 ，其中 和 是连续映射，并且有 . 如果两个丛的基空间相等，令 ，从而有 .
接下来讨论主丛间的态射，称为主射，其中 和 都是同胚，且 满足 .
对于两个右 空间 和 ，称满足 的映射 是等变的，其中 ， . 记 上主丛的范畴是 ，范畴的对象是主丛 ，态射是主丛间的态射 ，其中 . 若基空间 是光滑流形，则 和 都是微分同胚. 因此主丛的定义本身包含对纤维丛进行分类，若两主丛间有主射且两者基空间相同，则两主丛同构，再给丛射加上等变的条件，就能有如下定理.
定理2: 任意态射 都是同构.
定理2表明只要 给定，那么主丛在同构的意义上唯一，这再次说明了结构群是丛的基本性质.
若主丛 与乘积丛 同构，则称 是平凡的，故存在整体平凡化 ，其中 是对直积的第一个集合投影， 即 . 此时基空间 的开覆盖就是基空间本身，于是结构群 仅含单位元. 下面看一个例子，Möbius带是一个平凡纤维丛，若把一个矩形 的首尾顺序粘贴在一起，得到的拓扑对象 同胚于没有上下底的圆柱，即 ，因此整体是平凡的，但若把首尾逆序粘贴在一起，得到的是Möbius带，此时仅在局部成立 .
主丛的平凡化就是把主丛与乘积丛用主射联系起来，所以主丛的平凡化一定要满足等变条件，定义乘积丛上的右作用是 ，这样主射的等变性质能显式写出.
定理3： 主丛是平凡的当且仅当它有一个截面.
令 是主丛， 是乘积丛， 是主丛的截面. 由于 仅是 的右逆映射，故存在 使得 . 再由于 上的右作用是自由的，故映射 是唯一的. 如果在中把 全部换为 ， 则有 . 根据定义 有 ，显然 ，即 是丛射. 另外 ，即 是主射.
由定理2可知，主丛与乘积丛同构. 于是当主丛上存在截面时主丛是平凡的. 反之，若主丛是平凡的，即主丛与乘积丛之间有一个主射，令 是这个主射，则截面定义为 . 定理3得证.
事实上在定理3的证明中，还要去证明各个映射的连续性. 另一方面，定理3证明中的还可以发现， 与 互逆. 再根据 可知， . 而由定义 和 可知 ，表明 与 是紧密相关的，于是有 ， .
如果把基空间 换成局部 ，那么截面 变成局部截面，主射 变成局部平凡化，可以发现整体截面与主射一一对应，故有如下推论.
推论1： 主丛上的局部截面 和局部平凡化 之间一一对应. 若主丛的基空间是光滑流形，那么整体截面是全域光滑向量场.
设 的局部平凡化映射为 ，且 ，其中 满足 . 若 和 是两个局部平凡化，那么转移函数 满足 ，其中 . 此时映射 是纤维和结构群之间的同胚.
接下来讨论纤维上的群结构. 考虑主丛上的连续右作用 ，取定点 后得到映射 满足 ，由于 ，即 ，则 的纤维 就是的轨道. 从而 也是 的同胚.
由于 ，于是纤维 上有群结构而右平移 是群同态，其中点 本身是群的单位元. 又由于 ，说明 是群同态是由 是作用在纤维上的乘法得到的. 因为主丛上群作用是传递的，故 ， 使 ，然后可以定义乘法为 .
再令 是 上的转移函数，且 ， 满足 ，由于群作用的传递性，存在 使得 ，那么有 ，即 ，从而证明了 .
若存在从属于 的 类单位分解 ，即函数族 ，且 有 ， ，同时满足 ，且 是局部有限的，则称拓扑空间 的一个开覆盖 是可数的.
下面讨论一个重要的结论，即Hausdorff空间 是仿紧的，当且仅当它的任意开覆盖都是可数的. 由于流形都是仿紧的，于是流形上的任意开覆盖都是可数的显然成立. 若 上存在可数的开覆盖 ， 是主丛，若任意子丛 是平凡的，称 是可数的.
引理1： 若 是主丛， 是连续映射，那么 也是主丛. 若 是可数的，则 也是可数的.
根据引理1可以给出下面的定理.
定理4： 是可数的主丛，两个连续映射 是同伦的，那么 与 同构.
根据上面的讨论可知，可以得到结论（i），即单点同伦流形上的主丛必定是平凡丛，进而伴随纤维丛也是平凡丛. 由于 的 和 是同伦的，其中 是单点同伦流形缩到的那一点，此时 ， ，所以有 . 就证明了结论（i）.
另一方面，从纤维空间的角度进行讨论，可以得到结论（ii），即若纤维空间是单点同伦的，那么纤维丛是平凡的. 结论（ii）可以根据长正合列 来进行证明，若纤维 ，其中 不可缩， 可缩，然后取纤维为 和纤维为 得到的纤维丛在同构意义上相等即可.
结论（i）和结论（ii）说明，若主丛的基空间或者结构群是可缩的，那么主丛平凡，而平凡主丛的相伴纤维丛必定平凡，这就把纤维丛缩成了主丛，然后讨论主丛的平凡性即可. 事实上，主丛的结构群也可以像纤维空间那样展开为乘积，有如下推论.
推论2： 若 是连通Lie群，则有 ，其中 是最大紧子群，拓扑空间 单点同伦.
因此以 为结构群和以 为结构群，可以得到同构的主丛，来看一个例子就是 .
5.伴随丛
设伴丛的全空间 ，通常也记作 ，伴丛也用这个记号. 对于两个结构群相同的主丛 和 ，可以用 定义伴丛 和 之间的态射 ，其中 是主射.
定理5： 令 是主丛 的伴随丛， 是连续映射，那么伴随丛的拉回丛 与拉回丛的伴随丛 同构.
对于主丛 ， 本身就是一个左空间，所以可以定义伴随丛 ，故伴随丛与原主丛同构，同构映射是根据 定义的 .
对于主丛，可以定义其结构群的限制或扩张，令 是拓扑群 的闭子群，若 和 是两个主丛， 是包含映射且对于 和 有 ，那么称 是 的扩张，称 是 的限制.
如果对结构群进行限制然后再扩张回原来的结构群，那么得到的新主丛和原主丛同构，且结构群的扩张总是存在的. 若 是主丛， 是 的闭子群，那么 是 的扩张，根据 可以定义伴丛上的主丛结构 ，再根据可以定义包含映射. 然后就得到了下面的定理.
定理6： 令 是主丛， 是左空间， 是伴随丛， 是连续映射且满足 其中 ， ， 是根据 定义的伴随丛的截面，其中 是任意一点，那么 与 是一一对应的，其中 是物质场.
然后来证明定理6. 给定物质场 ，定义物质场对应的伴随丛截面 .
首先证明 是截面，由定义 可知， . 其次证明 不取决于 ，再根据，有 . 因此证明了结论（i），即给定物质场 ，则存在截面 并且是唯一的.
反之给定截面 ，根据 定义连续映射 ，其中 ，由于局部平凡化是同胚，所以 是伴随丛给出的单点局部平凡化的逆映射，即 ， . 又由于 且 ，于是有 ， . 因此证明了结论（ii），即 对应了唯一的物质场 ，事实上还需要保证 的连续性.
再令 是局部截面， 是伴丛上的截面，若 ，则称 是 在 上的局部表示 . 由于 中的 是任意的，故取 ，若 是伴随丛上的局部平凡化， 即 ，于是 . 定理6得证.
下面的推论可以说明，若伴随丛的纤维，即左空间 是线性空间，则伴随丛成为向量丛.
推论3： 令 是主丛，其中 是维实线性空间，那么伴随丛 是向量丛.
如果要给出伴随丛上的线性结构，只需要令 满足 即可. 由于此时 是赋范线性空间，而 是同胚，所以 上能定义线性结构. 反之，所有实向量丛都是这种上的伴随丛.
6.主丛的同伦类
根据前面的讨论发现如果纤维丛是非平凡的，基空间是不可收缩为单点的. 如不可收缩空间是+1 维球 ，它可用两个开集覆盖 ，其中 是球去掉南极点， 是球去掉北极点，两者的交叠区 与 同伦等价. 所以转移函数 的同伦等价类用 来区分.
再由定理4可知，若两个连续映射 是同伦的，那么两个诱导丛 是同构的，其中 是可数的主丛.
接下来讨论定理4的逆定理是否成立，即是否存在可计算的主丛 ，使任意两个同伦连续映射诱导的主丛同构，或对于每一个 上的主丛 ，是否存在连续映射 使 与 同构.
事实上，要找到一个映射 使得 ，其中 是 的同伦等价类， 是 的同构等价类，记 ，其中 标志两种等价类的集合.
推论4： 是可数的拓扑空间， 是可数的主丛，且 的全部同伦群都是平凡的，即 连通，那么有 是双射.
根据推论4可以进行如下定义. 若 是 连通的，称可数的主丛 是 的万有丛，称 是分类空间. 最后有下面的定理.
定理7: 是可数的主丛，存在连续映射 使得 与 是同构的. 若两个连续映射 使得 与 是同构的，那么 与 是同伦的.
最后看一个例子，令 是主丛，由于 是光滑流形所以是可数的，且 的各阶同伦群都平凡，所以根据同伦群正合列 可以给出 . 由定理7可知，同伦分类是由各阶 决定的，而 .
下一篇介绍《Fibre Bundles专题——纤维丛上的联络》，敬请期待……
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