前面两篇《现代微分几何——从拓扑流形到微分流形》和《现代微分几何——流形上的导数和微分》一直在讨论光滑流形，其实在上一篇《现代微分几何——切丛和余切丛及其定向》中已经给出了丛的定义，本文就在这个基础上初步介绍纤维丛（Fibre Bundles）.
参考文献：Dale Husemoller. 《Fibre Bundles》. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 20.
1. 丛与截面
定义 1： 丛是指一个三元组 ，其中 为一映射， 为全空间， 为底空间或基空间， 为丛的投影映射 . 对于任意 称为 点处的纤维.
定义1只是在形式上对丛进行了定义，并没有保证 的拓扑结构，也没有保证 是连续光滑映射，但根据之前提及的微分流形，读者应该了解本文讨论的丛会限制在微分流形上，如乘积丛，流形的切丛等.
例1： 底空间 上以 为纤维的乘积丛 就是丛的典型例子，其中映射为 投影映射 就是限制在 的第一个分量上的投影映射.
有了丛的定义后接下来定义子丛和截面.
定义 2： 丛 为 的子丛是指对于，并且映射为 .
定义 3： 丛 的一个截面是指一个映射 ，使得 .
可以发现，截面对 中的每一点 指定了某些 点纤维中的元素，如地球上的风形成的向量场，在每一点指定了该点切空间里的一个切向量，另一个例子就是根据Frobenius 定理中微分流形的 维分布，即在流形上的每点处给出一个切空间的 维子空间的基底.
因为乘积丛是最trivial的情形，故对于乘积丛上的截面有下面的定理.
定理1： 乘积丛 的每一个截面的作用都可以直接写作，其中 是被 唯一决定的映射.
证明：由于 是在每一点处指定了纤维丛中的元素，故唯一决定了 . 设 ，则有 ，因此 . 对于乘积丛， 和 之间的关系是一一对应的.
接下来定义丛之间的态射.
定义 4： 记 和 是两个丛，定义两个丛之间的态射为 ，其中 使得 ，交换图如下.
如果固定底空间 不变，即对于两个从 和 ，满足 ，且交换图如下，称为 -态射.
更进一步可以定义态射之间的复合，对于两个丛之间的态射 和 ，则两个态射的复合就定义为 ：
有了丛之间态射的定义就可以定义丛范畴.
定义 5： 丛范畴的对象记为 ，其对象为 全体，态射以及态射的复合都满足之前的定义. 如果固定了底空间 的丛之间构成子范畴 ，则子范畴之间的态射为全体 -态射 . 其中 称为同构当且仅当存在同态 ，且满足 .
定义了丛之间的同构，则可以对丛进行一些简单分类.
定义6： 空间 称为丛 的纤维，即对任意 ，的纤维 同胚于 . 此时丛 称为有平凡的 纤维，即丛 和乘积丛 之间的态射为-态射.
但是具有整体平凡纤维的丛的例子不多，如 的切丛是平凡的，但 就没有整体平凡的切丛了，因此需要定义局部平凡.
定义7： 底空间均为 的两个丛 与 称为局部同构，如果对任意 ，存在 的开邻域使得 和 是 -态射，其中 有局部平凡的纤维 ，即 局部同构于乘积丛 .
最后还可以对两个丛之间定义乘积，即通过映射 把 通过拉回映射 拉回为底空间为 的丛并且对截面进行延拓即可.
2. 向量丛
之前讨论的丛是最广泛的拓扑意义下的丛，没有刻意强调丛的拓扑结构，接下来讨论向量丛.
定义8： 域 上的 维向量丛 是对一般的丛 的每个纤维 都是 上的 维向量空间，且满足局部平凡化的条件. 其中 可以取不同的域，如实数域 ，复数域 ，四元数域 等.
定义了向量丛后就可以定义向量丛之间态射，相比一般丛之间的态射，向量丛之间的态射还要满足映射 是线性的. 此时得到向量丛范畴，记为 ，同理可以定义向量丛范畴的底空间均为 的子范畴 ，且由 维向量丛构成的子范畴记为 .
下面的定理指出是向量丛是某种拓扑不变量.
定理 2： 记 是两个同伦的映射，其中 是仿紧的空间，若 为 上的向量丛，则上向量丛的拉回映射 和 是-同构的.
然后就可以开始讨论纤维丛了.
3. 纤维丛
纤维丛和群作用是密切相关的，下面来介绍一些群的基本定义.
定义 9： 拓扑群 是指一个具有拓扑结构的群，使得 是 的连续映射. 常见的拓扑群有 为加法群， 为乘法群，可逆矩阵全体 为矩阵乘法群.
定义 10：对于拓扑群 ，可以定义右 -空间 的群作用为 . 且满足
（i） 对任意 ，满足结合律 ；
（ii）对任意 ，满足 ，这里 是 中的单位元.
根据定义了 右作用在 上后，也可以定义左作用，但为了满足结合律，需要将作用的元素换成逆元，因此左作用和右作用是一一对应的，下面只讨论右作用. 其中最直接的例子是 右作用在 上和将 按标量乘法右作用在 上.
接下来考虑对右 -空间的分类.
定义 11： 如果对任意 满足 ，两个右 -空间 之间的映射称为 -态射.
定义11说明了态射和群作用可交换，那么如果再有复合态射，同样满足交换，此时所有的右 -空间以及他们之间的 G-态射构成一个右-空间范畴，记为 ，其中 为所有空间构成的范畴.
事实上还可以在右 -空间上定义等价类，即如果存在 ，使得 ，其中，称它们为等价的. 如果整个 作用在某个给定的 上，记作 为 在群作用下的轨道，用 表示所有的轨道构成的集合，这个集合上的拓扑是使映射 连续的最大拓扑.
另一方面，如果把 的作用视为加法，整个群 视为一个循环群 ，对 加上任意整数倍的 得到的 与 总是模 同余的，其中循环群 的拓扑是离散拓扑.
定理3： 对任意 -空间 ，映射 是同胚，并且映射 是开映射.
证明：对任意 -空间 ，映射 的逆映射为 ，则可以证明两者同胚，记 为开集，则 是开集，由连续性可知， 也为开集.
根据定理3可以发现，任意 -空间定义了一个丛 ，对于 -态射 ，可以定义商映射 ，其中 ，故有了-态射和商映射之间的态射，即.
定义 12：如果有同胚映射 . 即有同构 ，则任意丛 称为 -bundle.
根据 不一定能够推出 ，如循环群中， 可以是 的任意倍数，故需要引入自由 -空间的概念.
定义 13： 如果对任意 ，一个 -空间 被称为自由 -空间. 对一个自由 -空间 ，再记 为所有形如 构成的集合，则可以定义转移函数 ，使得 .
根据定义13则可以验证转移函数有如下性质：
（i） ;
（ii） ;
（iii）.
定义 14： 一个 -空间 被称为主-空间，是指 是 自由 -空间且有转移函数 连续. 一个主 -丛是指一个 -丛 中的 是主-空间且底空间 是同胚于 的.
根据定义14中的主-丛，就能够得到主-丛的纤维是 . 有下面的定理.
定理4： 记 是主-丛，则 在每一点处的纤维都是 .
证明：对任意 ，可以定义 ，作用为 ，且 的逆映射为 ，并且按定义， 的逆映射是连续的，故 是同胚映射.
记 是主-丛， 为一个左-空间， 通过映射 成为一个右-空间，再记所有 在 作用下轨道的集合，并且赋予商拓扑之后为 ，最后定义 的作用为 .然后就可以定义一般意义下的纤维丛.
定义 15： 丛 称为底空间 上的以 为纤维的纤维丛， 称为主丛的伴随丛，即主-丛，群 称为结构群 .
暂时先写到这里，之后的《Fibre Bundles》还会涉及到纤维丛的截面和局部坐标表示，以及纤维丛的结构群 的相关性质等. 敬请期待……
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