之前小编写过一个关于现代微分几何的系列推文，当时是为了写《Riemannian Geometry》做铺垫，推文如下：
1、《现代微分几何中的光滑流形及其上的映射》
2、《现代微分几何中的切空间、切向量和光滑切向量场》
3、《现代微分几何中的余切空间、张量和张量场》
今天从另一个角度来分享的原因是为了过渡到《Fibre Bundles》，希望读者能喜欢.
参考文献：
John M. Lee.《 Introduction to Smooth Manifolds》. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218.
上一篇文章《现代微分几何——从拓扑流形到微分流形》中定义了光滑微分流形，微分流形主要讨论的是流形上的微积分，故要把欧氏空间微积分的概念推广到流形上. 而在欧氏空间中的微分只依赖于函数的局部性质，这与光滑流形局部微分同胚于欧氏空间是相似的.
1. 导数
之前的文章《现代微分几何中曲线的参数化》中的定义2描述的是在欧氏空间 上的切空间，接下来就可以类似定义微分流形上的切空间. 下面是在欧氏空间 中几何切空间的定义 .
定义1： 欧氏空间 中在 点处的几何切空间是 .
根据定义1， 就是将 中的向量，起点均选定为 得到的. 故有自然的同构 ，于是将 记为 ，从而可以定义 中的向量加法与向量在 上的数乘如下，即有
上式中等号右边的加法和数乘和原本 中的加法和数乘是不同的，在 中只不过是选取了新的基点，由于，故这样来定义是加法和数乘是很自然的，但如果把加法和数乘在流形上进行定义，说明流形具备了逐点的性质，即 -线性.
几何切空间上可以求方向导数，即对任意 ，由 定义方向导数算子 , 有
可以发现在几何切空间的求导并不是的作差商求极限，而是 Lebniz 法则，就是将求导运算看成满足性质的导数算子，且由导子性质定义出来的导数构成的线性空间与方向导数构成的线性空间是同构的，故下面定义 点处的导数如下.
定义 2 : 对于在 点处的映射 ，如果满足 在 上线性和 Lebniz 法则 ，称 为 点处的导数，所有 点处导数的集合记为 .
由于满足 Lebniz 法则，可以对导数定义加法，有
于是导数空间上的加法就是 ，类似的可以定义数乘 ，故 就构成了一个线性空间. 下面来证明是维线性空间.
引理1： 对于在 点处的映射 ，则有（i） 作用在常数上结果为 ；（ii） 若 ，则 .
证明：性质（i）显然成立，由 在 上线性可知，考虑 再由Lebniz 法可以得到，即 . 同理，性质（ii）也可以由 Lebniz 法则得到.
接下来证明 ，就得到 的维数为. 有如下定理.
定理1： .
证明：
根据由 给出的方向导数是满足对导数的定义，故接下来只需证明线性映射 是双射即可.
先证明线性映射 是单射. 若 ，且由于 是有限维线性空间，只考虑它的基底 ，若 ，取一个坐标函数 ，即把 中的 维坐标只取出第 个分量，则有 . 线性映射 是单射得证.
然后再证明线性映射 是满射. 对 在 点处 Taylor 展开，其中第一项为常数，从第三项开始后面的项都含有 作为二阶零点，故对任意 ，都有
取 ，则有 . 线性映射 是满射得证.
综合上述，线性映射 是双射，因此 为 维线性空间，且 便构成的一组基. 称为上的切空间.
根据欧氏空间上的切空间，则可以定义流形上的切空间.
定义3： 对于在 点处的映射 如果满足 在流形 上线性以及 Lebniz 法则，即 ，称 为 点处的导数，所有 点处导数的集合记为 ，称为 点处的切向量空间.
由于引理 1 的两条性质可知，与函数是否定义在 无关，只与导数的线性和 Lebniz 法则有关，故在流形上仍然有类似的结论.
2. 微分
然后开始讨论流形切空间之间的线性映射，如果局部微分同胚的流形上切空间的线性映射是同构，就可以说明 维流形的切空间仍是 维线性空间，故接下来只需要说明两点，分别是（i）微分同胚的流形上切空间同构；（ii）切空间是一个局部性质.
定义 4： 若 为光滑流形间的光滑映射，，定义 在 点的微分为 ，满足对任意给定的 可以作用在 上的光滑函数，通过 ，有
由定义4可知， 作为 上的切向量作用在 是线性的且满足 Lebniz 法则的，因此它也是 处的导数.
接下来证明微分同胚的流形上切空间同构. 下面是微分的一些性质.
定理2： 对于 ，其中 为光滑微分流形， 为对应的光滑映射，则 有如下性质：
（i） ；
（ii） ；
（iii） 如果 是微分同胚，那么 是同构，因此 .
证明：
（i） 有
（ii）按照定义4中微分的定义，将作用在任意 上即可.
（iii）因为 是微分同胚，所有逆映射 光滑，由性质（ii）即知 是同构.
然后再来证明切空间是一个局部性质.
定理3： 取定 属于光滑流形 上 处切空间 ，如果 ，且它们在 的某个邻域 上相等，则有 .
证明：
取 ，则 在 上恒等于 ，故可以取一个在 上恒等于 ，且支集包含于 的隆起函数（bump function） ，再利用光滑函数在二阶零点处导数为 和导数的线性，得到 .
定理4： 记 是包含于光滑流形 的开集， 为包含映射，则 是同构.
证明：
定理4的证明要用到流形上光滑函数的延拓性质.
首先证明是单射. 若对某个 ，使得 ， 由延拓性质可知，对任意 ，有 ，使得在包含 的某个邻域的闭包 上有 ，因此根据定理3可得，. 即是单射得证.
接下来证明是满射. 对任意 ，定义 ，使得 ，对 的任意延拓，只要在上局部相等，由定理3可知，它们的导数都相等，因此这是良定义的，且 满足线性和 Lebniz 法则，因此有. 故对于 ，有
即是满射得证.
综上所述，是双射，即同构.
然后就可以得到下面的定理5.
定理5： 如果 是 维光滑流形，则 是 维向量空间.
证明：
对任意 ，考虑包含 的坐标卡 ，由于 是 到 中开集的微分同胚，则由定理2的（iii）可知， 微分同胚流形的切空间同构，故存在同构 ，使得 ，再由定理4可知， 切空间只依赖于局部邻域，故 ，最后由定理1可知， 欧氏空间 的切空间是 维向量空间，即知 也为 维向量空间.
根据 是 维向量空间，就可以找到 个在 点处线性无关的切向量作为的基底，在底空间 上的基底 可通过拉回映射 拉回到 上，从而成为 的自然基底.
另一方面，通过考虑切空间的对偶空间，则定义为余切空间 ，由引理 1 可以得到，导数作用在相当一部分光滑函数上为 ，即导数算子在 上的核空间是相当大的，记为 ，再考虑导数算子的对偶空间 是 维空间，且坐标函数的导数构成余切空间的自然基底为，从而切空间维数也为 .
当然切空间的定义还用等价类构成的函数芽空间，考虑函数芽空间上的导数，此时切空间就是只跟局部相关的，或者从流形上过 点曲线的等价类作为切空间.
另外，任意光滑流形都有黎曼度量，从而自然基底可以通过 Gram-Schmidt 正交化得到正交基底. 知道基底以后就可以开始进行一些计算，且流形上切空间的自然基底来自欧氏空间，故求不同坐标下导数的坐标变换以及两个流形间的微分时，需要将流形上的函数拉回到欧氏空间上，然后利用链式法则进行计算即可 .
未完待续……
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