参考文献：
1、Frank W Warner《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Group》
2、William M. Boothby《An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry》
前两篇一直在讨论光滑流形，包括光滑流形和光滑流形上的映射、光滑流形上的切向量、切空间和光滑切向量场，本篇继续讨论光滑流形的余切空间、张量和张量场.
6、余切空间
对于光滑流形 的一个相容坐标邻域上的点可以用欧氏空间的一个区域上的点来表达，欧氏空间上的光滑函数 的偏导数为
即为光滑流形 上某点处的切向量. 但切向量是光滑流形上的全体光滑函数上的函数，即泛函. 它构成一个环或构成一个线性空间，称为切空间.
既然光滑流形 上某点处的全体切向量是一个线性空间，且它的维数等于 的维数，并称它是上某点处的切空间. 而余切空间，是光滑流形上某点处的切空间的对偶空间或共轭空间，即切空间上的全体线性函数构成的空间。
令光滑流形 上的点 处的切空间为 则 在 处的余切空间为 将光滑流形 上的全体光滑函数记为 设 则 的自然基底是
称余切空间上的向量为余切向量，那么余切向量的实质就是微分. 因此定义
这样的 是 在 处的一个余切向量.
在光滑流形 的一个含有 的相容局部坐标系 中，坐标函数 是 上的光滑函数. 构造余切向量 则
因此 是自然基底 的对偶基底或共轭基底. 且
成立.
称 是 在 处的微分.
7、张量
（1）有限维线性空间
在介绍张量前，先讨论线性空间概念，以及线性空间的基，并引入一种带有基的线性空间的相等关系，这种相等关系十分重要.
设 满足 设 则关于空间 的加法运算和数量乘法运算分别为 和 再定义 设 则空间 上的运算满足下面八条基本公理：
设 是一个非空集合，定义相应的加法和数量乘法运算，使得对于任意 和 成立以上八条性质，则称 是一个线性空间. 故空间 是一个线性空间.
接下来讨论 上的向量 可以构造一个映射 使得 并且它是双射，即满足对于任意 成立若 则 以及对于任意 存在 使得 因此对于 而言，映射 就是恒等映射.
设 是一个线性空间，向量 满足映射 是双射，则称 是 的一个基，称 是一个 维线性空间. 集合 是 的一个基，故 是一个 维线性空间.
下面来看一个不同于 的线性空间的例子.
由函数 的全体构成的空间满足函数的线性运算 和 ，则该空间是一个线性空间，它的一个基是 其中 则该空间是一个 维线性空间，记为
由于任意两个 维线性空间之间都存在双射. 设 分别是 维线性空间，分别对它们指定一个基 则存在双射 满足 和 称双射 是一个 的同构映射.
说明：同构映射体现的是两个线性空间的一种一一对应的关系，而且这种关系在线性空间的加法和数量乘法运算中保持不变，因此在两个 维线性空间之间都存在同构映射. 故存在一个 的同构映射，将 映成 也记为
设 分别是一个 维线性空间，指定一个 同构映射 再分别对它们指定一个基 分别对应于双射 则 与 在这种意义下是相等的，即对于任意 满足
因此如果给定两个线性空间上的一一对应关系，使得它们在各自的基下坐标相同的两个向量成立这种一一对应的关系，那么这两个线性空间在这种意义下是相等的. 空间 和 在同构映射 和基 的意义下，坐标为 的向量分别是 和 我们就说这两个空间在这种意义下是相等的.
（2）线性空间中的反变、协变
定义线性空间上的线性函数. 设 是一个线性空间，映射 满足 和 则称 是 上的一个线性函数.
将 上的全体线性函数看作是一个集合，并且定义线性函数的加法和数量乘法分别为和 于是这样的集合构成了一个线性空间，称它为 的对偶空间，记为
假设 是一个 维线性空间，且它的一个基是 接下来证明 也是一个 维线性空间.
证明：考虑 使得
则对于任意 存在唯一的 使得
其中 是 的坐标，且对于任意 满足
因此如果确定了 的值，就唯一地确定了 其中
这就说明 是 的一个基，空间 是一个 维线性空间，映射 在这个基下的坐标是
下面继续证明空间 也是一个 维线性空间，且和相等.
证明：设空间 有一个基是 其中
并且 在这个基下的坐标是 即 且按照 到 的同构映射 有 在 下的坐标等于 在 下的坐标，即这就证明了 与 是相等的.
由于 与 两者无区别， 就给出反变和协变的概念.
称 的映射为 的一个反变，称 的映射为 的一个协变. 因此空间 的反变就是它自己所属的向量，空间 的协变就是 所属的向量.
（3）多重线性函数
接下来将线性空间上的线性函数概念做适当的推广. 设 分别是一个线性空间，它们的维数分别是 映射 满足
则称 是 上的一个 重线性函数.
将 上的全体 重线性函数构成的集合记为 则对偶空间或共轭空间 就是关于空间 的
说明：如果按照坐标分量写出空间 上的线性函数 的定义，那么它就和现在给出的多重线性函数的定义在形式上非常相似。故可以用相似的方法，定义 上的线性运算.
下面来讨论集合 的维数.
关于空间 的基 相应的对偶空间 的对偶基是 其中 将 映成 将 映成零，以此类推…… 然后进行推广，在集合 中取出 个元素 其中满足 元素 将多重基向量 映成 此时取空间 的基是 将其它多重基向量映成零，于是这 个元素线性无关，且对于任意 存在 个实数，使得
成立
因此集合 是一个 维线性空间.
下面来阐述建立多重线性空间概念的意义.
如欧式空间具有内积运算，设 分别是 维欧式空间上的向量，则可以定义内积运算其中 分别是 的坐标分量. 这种对向量做内积的运算就是关于欧式空间的一个二重线性函数
其中的多重坐标分量可以用一个矩阵表示，只不过它恰好是一个单位矩阵.
（4）张量
张量的定义如下：对于线性空间 构造一个 重线性函数
则称 是 上的一个 型张量或 阶张量，称 为 的反变阶数，称 为 的协变阶数. 称 上的 型张量为 阶反变张量，称 上的 型张量为 阶协变张量.
根据张量的定义，空间 自身的元素就是 上的一个 型张量，空间 的对偶空间 上的元素就是 上的一个 型张量，因此一阶张量就是我们以往所说的向量.
然后可以通过自然同构，可以将 上的 型张量 看作是
则 维空间 上的 型张量 可以表示为
其中 是 的分量，共有 个，且 重基函数 将 重基向量 映成 将其它 重基向量映成零. 当 时，将 替换成 当 时，将 替换成
如果用张量的观点看待欧式空间上的内积，则取单位正交基
另取两个向量
作标准内积运算
其中
故标准内积运算是欧式空间上的一个二阶协变张量
其中的分量 构成单位矩阵.
而 维空间 上的线性变换其中 是一个 级方阵，是一个 型张量，相应的分量 就是方阵 的分量. 因此矩阵可以被看作是二阶张量，则可以直观地把 阶张量看作是 维方阵.
（5）张量积
如果将 看作是一个线性空间，那么它的维数是 ，全体线性函数构成的空间是 维数也等于 . 但 上的全体二重线性函数是一个 维空间，和 的区别在于，原来空间的基是两个 的基的并集，而现在空间的基是两个 的直积，故前者对维数做加法，后者对维数做乘法.
由张量构成的空间称为张量积. 设 分别是一个 重线性函数，则 与 的张量积定义为
其中 是向量，于是 是一个 重线性函数，由张量积的定义可以得到张量积的的运算满足结合律，即写 时无需添加括号.
接下来给出线性空间的张量积. 设 分别是一个 维线性空间，取 则 可以分别看作是 上的线性函数，于是 有意义. 定义则 成为一个二重线性空间，也是一个 维线性空间.
两个线性空间的张量积的本质是处理映射的像，即 重线性空间的张量积，可以构成一个 重线性空间. 线性空间和多重线性空间上的张量积运算，也满足结合律. 空间 上全体的 型张量构成的空间，用线性空间的张量积表示为
8、光滑张量场
由于光滑切向量场意义是在光滑流形 上的每一点 处指定一个切向量 构造出 的映射 在 的相容坐标系上有分量表示为
但为了更清晰地说明光滑切向量场的代数性质，即满足和 也可以将它看作是 的映射，在 的相容坐标系上有分量表示为
由于光滑流形 上在每一点 上的切空间 作为线性空间，有对偶空间 称为光滑余切向量场也有类似的性质. 现在将 上的全体光滑切向量场记为 全体光滑余切向量场记为 根据张量的定义，线性空间 上的 型张量是指 重线性函数.
那么切空间 上的 型张量是指 重线性函数 再利用线性空间的张量积，就可以写出切空间 上的全体 型张量构成的集合是
若将光滑流形 上的全体 型张量构成的集合记为 在光滑流形 上的每个点 处指定一个 型张量，构造出一个 的映射，即 的 型张量场，在点 的相容坐标系中，张量场的分量表示为
若 都是光滑函数，则称 是光滑张量场.
光滑张量场也可以做加法和函数乘法，并且有类似的代数意义. 光滑流形 上的 型张量场 可以被看作是 的映射，即
且对于任意 以及 满足
上式的意义在于对每个分量都有 线性的 的映射，则都是 的 型光滑张量场.
最后来讨论一下说明定义光滑张量场的意义，是因为黎曼流形依靠光滑张量场而被定义，因此下面给出黎曼流形的定义.
设 是一个 维线性空间，指定一个 的映射，将 对应为 使得下列的条件均成立：
且
可以发现这是为 指定了一个 型张量，并且是正定的和对称的. 因此在光滑流形 上指定一个 型光滑张量场 并且它是正定的和对称的，即对于任意 在 的相容坐标系下将 表示为 使得 是正定矩阵。则称 是 的黎曼度量，称 是黎曼流形.
暂时先写到这里吧……
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