之前小编写过一个关于现代微分几何的系列推文，当时是为了写《Riemannian Geometry》做铺垫，推文如下：
1、《现代微分几何中的光滑流形及其上的映射》
2、《现代微分几何中的切空间、切向量和光滑切向量场》
3、《现代微分几何中的余切空间、张量和张量场》
今天从另一个角度来分享的原因是为了过渡到《Fibre Bundles》，希望读者能喜欢.
参考文献：
John M. Lee.《 Introduction to Smooth Manifolds》. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218.
上一篇文章《现代微分几何——流形上的导数和微分》中已经讨论了流形上的导数和微分的定义，本文讨论流形上的切丛、余切丛及其定向的相关内容。
1.切丛
设 维光滑流形 上一点 处的切空间为 ，如果把每一点处的切空间无交并就得到了切丛 (Tangent bundle) . 读者可以这样来理解，将底空间 想象为草地，某一点处的切空间看作长出来的草，那么切丛就是整个连带着土地的草丛.
定义 1：光滑流形 的切丛 ，即
切丛中的元素是切空间 ，但也把 中的元素 也称为切丛中的元素，于是有一个投影映射将切丛中每一个切空间映到它的基点，即
故用 来表示流形在 点处的切空间. 已知有限维线性空间本身就是光滑流形，故切空间是光滑流形，切丛中的所有基点 也构成光滑流形 . 对于把切空间粘在一起构成的切丛，它的拓扑结构可以从 把光滑流形 上的开集通过拉回映射拉回到切丛上得到，更进一步我们能够赋予切丛的微分结构.
定理1： 切丛 是 维光滑流形.
证明：首先可以证明，切丛 满足第二可数且 Hausdorff 的，然后要找到 上的一组相容坐标卡，于是对于原来 上的坐标卡 ， 诱导到 上， 为开集，再把 诱导到 上，有
因此 是单射，且 把 映射为 中开集，对 上的任意两个坐标卡 ，对应切丛上的 ，有
故 把交集映射成开集. 最后考虑转移函数 ，即
再由之前的文章《现代微分几何——从拓扑流形到微分流形》中的定理1知， 是 维光滑流形.
从上面的讨论可以发现，在坐标卡的构造中，切丛是局部微分同胚于 ，在上述证明中，如果流形 有整体的坐标卡，那么可以取 ，从而上切丛也会有 这种结构，但这只是充分条件，不是必要条件。如一维圆周 ，在每一点 处切空间的基底为 ，故 ，但由于 与 不同胚，故 是不能被一个坐标卡覆盖住的.
最后考虑转移函数的Jacobian矩阵是分块对角矩阵，根据上面的转移函数表达式可知，两个分块矩阵的行列式相同，故转移函数的Jacobian矩阵恒正，因此切丛 是可定向的微分流形.
2. 余切丛
关于余切空间的内容请参考《现代微分几何中的余切空间、张量和张量场》.故类似于切丛，也可以给余切丛 一个微分结构，其中余切空间 是以 为基底的 维线性空间.
定理2： 余切丛 是 维光滑流形.
证明：
考虑两个坐标卡 相交部分的坐标变换，它们的基分别记为 ，将 上的基用 线性表出，有
再根据切空间的坐标变换，有
两边作用一个 ，由于 ，故有
如果把 的指标从 换 为 ，就得到了对于余切空间的坐标变换公式，有
类似于定理1中关于 是 维流形的证明，就可以证明 也是 维光滑流形，其中坐标卡的取法为
对两个坐标卡 转移函数为
故可以证明的第二可数和 Hausdorff的.
更进一步，由于 是可定向流形，则可以证明 为可定向流形，同理在考虑转移函数的雅可比矩阵时，根据余切丛上的坐标变换，Jacobian矩阵的后 个分量恰好是前 个分量的倒数，故转移函数的雅可比恒为 ，因此余切丛是可定向的微分流形.
下一篇可以开始进入Fibre Bundle了，敬请期待……
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