5月的最后一天，写点代数几何吧……
参考书目：Robin Hartshorne.《Algebraic Geometry》Graduate Texts in Mathematics, Vol. 52.
代数几何是研究多项式零点的学科，那么就从多项式零点谈起吧. 先进行记号约定，若不另加说明，下文提及的环都是交换幺环，域都是代数闭域，用 来表示域 上的维仿射空间，用 来表示域 上的元多项式环 .
定义1: 设 ，定义 为多项式 的零点集，设 ，定义 为多项式组 的公共零点集，称 是一个仿射代数集是可以表示成 的形式.
定理1( 的一些性质)： 设 都是 的子集，则有下面的性质
（i） ，其中 是 生成的理想； ，则 ；
（ii）；
（iii）.
其中性质（ii）称为无交并，性质（iii）称为有限交，类似于拓扑中的定义，如果把代数集看成闭集，就可以在仿射空间上建立拓扑.
定义2：如果把 中全体代数集看作闭集，那么根据的性质可知， 中全体代数集满足拓扑的定义，称为Zariski拓扑.
由于Zariski拓扑不是Hausdorff的，但它有另外一些性质.
定义3: 如果拓扑空间 的一个非空子集 不能表示成两个非空闭真子集的并，则称是不可约空间.
根据定义3可以得到不可约空间的性质，即任意不可约空间的开子集都是不可约且稠密的，任意不可约集的闭包仍然是不可约空间. 然后就可以定义仿射簇.
定义4: 不可约的仿射代数集称为仿射代数簇，仿射簇的开子集称为拟仿射簇.
虽然定义了仿射代数簇和拟仿射代数簇，它们是代数几何的研究对象，不过在此之前还需要一些另外的定义.
定义5: 设 是任一子集，则可以定义 的理想为 .
根据定义5， 的理想有下面的性质，如果 ，则有 ， .
故下面的定理表明了 与 的关系.
定理2（ 与 的关系）:
（i） ；
（ii）Hilbert零点定理，即 ， 是 中理想.
因此Hilbert零点定理（Hilbert Nullstellensatz）建立起了 中的代数集和 中的根理想的对应关系，有下面的定理.
定理3: 中的代数集和 中的根理想有一个由 给出的一一对应，这个对应保持包含关系，且在这个对应下代数簇一一对应于 中素理想.
如果考虑一个代数集 ，以及 中所有多项式在 上的取值，如果两个多项式在 上取值相等，则这两个多项式等价，于是就得到了一个等价关系，从而得到一些等价类，故有下面的定义.
定义6: 设代数集 ，则定义 的坐标环为 .
根据前面的讨论，有 中仿射簇与 中素理想一一对应，但包含关系是相反的. 且一个代数集或仿射代数簇对应一个有限生成既约环或有限生成整环，同理一个有限生成既约环或有限生成整环也对应一个代数集或仿射代数簇，然后建立仿射簇范畴和有限生成整环范畴的范畴等价.
由于仿射簇对应素理想，代数集对应根理想，如果要研究代数集，就应该研究根理想，如果能把代数集分成仿射簇，这样就可以转化为研究素理想.
定义7: 如果一个拓扑空间 是Noetherian，则拓扑空间 的任意不可约闭子集链 满足降链条件.
定理4: 设 是任意Noetherian拓扑空间中的非空闭子集，则 可表示为不可约闭集的有限并 ，如果 互不包含，则这个分解是唯一的，此时把这样一个唯一不可约分解中的 称为 的不可约分支.
由于 ，则由希尔伯特基定理可知，则 是一个Noetherian环，故我 也是Noetherian，此时代数集作为仿射空间的子集显然是Noetherian，因此每个代数集都可分解成仿射代数簇的有限并，且在互不包含意义下分解是唯一的.
又因为代数集对应的理想越大，则理想对应的代数集就越小，所以代数集 的不可约分支对应包含 的极小素理想，在交换代数中的不可约分解则可以对应准素分解，此时代数几何可以和交换代数联系起来.
接下里考虑环维数的定义是环中所有素理想的高的上确界，素理想 的高的定义为Noetherian环上的素理想链长度的上确界为 ，其中 互不相同，于是在素理想与仿射代数簇的对应下，我则在仿射空间中也可以定义维数.
定义8: 设 是一个Noetherian空间，定义 为所有这样链的长度的上确界 ，其中 是互不相同的不可约闭集，于是代数集，仿射簇，拟仿射簇的维数就作为它们的拓扑空间的维数.
根据定义8就得到，一个代数集的维数等于它的坐标环的维数，此时交换代数中诺特环的维数的定义就平移到代数几何中了，交换代数与代数几何再次产生了联系.
在代数几何中不能只讨论了仿射代数集和仿射代数簇，同时还要研究的仿射代数集和仿射代数簇之间的态射.
接下来讨论如何在代数簇上定义态射，根据坐标环的几何意义是所有在仿射代数簇 上取值不同的多项式，因此仍然要回到多项式展开讨论.
定义9: 设 是一个拟仿射簇和一个函数 是在点 正则的，即存在开集 和 ，使得 在 上不取到零，且在 上有 ，若 在 上每一点都正则，则 在 上正则.
根据定义9可知，一个正则函数的局部可以表述为两个多项式的商. 而对于定义了Zariski拓扑的几何对象，则所有映射都是连续的，有下面的定理.
定理5: 如果把 看作 ，此时赋予Zariski拓扑，则有正则函数是连续的.
若拟仿射簇 的两个正则函数在 的一开集上相等，则可以得到这两个正则函数在整个 相等，这表明可以从局部来研究正则函数. 代数几何中最基本的方法就是把问题归结到局部的情形，从而使用交换代数的方法来处理，如果涉及到非仿射代数簇的问题，都可以归结到仿射代数簇的情形，从而利用仿射代数簇的性质来处理，而概型的问题大多数时候也能归结到仿射概型上.
然后讨论如果正则函数的值域是 ，如何得到两个代数簇之间性质比较好的映射的问题.
定义10: 设 和 是两个代数簇，它们之间的态射 是满足下面条件的连续映射，即对 中每一个开集 和每一个正则函数 ，函数 都是正则的.
根据态射的定义，态射的复合还是态射，且一个态射 是同构指存在态射 使得 , ，一个同构当然是一个同胚，但反过来则不一定成立. 然后讨论一下关于正则函数的性质.
定义11: 设 是代数簇上一点，定义 点处的正则函数芽为 ，其中 是 的邻域， 是 上的一个正则函数，如果点 处的两个正则函数芽 满足在 上有 ，则两个正则函数芽 相等.
定义12: 设 是一个代数簇，用 来记所有在 上正则的函数，于是有自然的环结构，则称 为 的正则函数环，若 ，则定义点 处的局部环 为 点处所有正则函数芽构成的环.
根据定义12可知， 为局部环，因此只有一个极大理想，且这个理想是所有在 点归零的函数芽，即 ，因为若 不在 点取零，则 也是一个在 点正则的函数，于是存在一个自然同构 是由 给出的.
根据之前的文章《复几何专题——复流形的局部性质、层和上同调》中层的定义可知， 是一个代数簇 上的层，此时称为正则函数层，很自然地， 就是这个层在点 处的茎， 是层的全局部分.
定义13: 定义 的函数域 ，且的元素是 ，其中 是 的开集， 是 上的一个正则函数，如果两个元素 满足在 上有 ，则两个元素相等，若干 中的元素为有理函数，此时函数域也叫有理函数域.
由于是一个函数域，若 ，则取 ，于是 是它的逆.
然后来讨论正则函数层、函数域和坐标环的关系，则有下面的定理.
定理6: 设 是代数簇， 是 的坐标环，于是有下面的结论：
（i）；
（ii） 给出了一个 中点到 中极大理想的一一对应，其中 是在 取得零的函数构成的理想；
（iii） ，且 ；
（iv） 同构于 的商域，其中 是 的有限生成域扩张，超越维数为 .
证明：首先根据正则函数的定义，就得到了结论（iii），对于结论（i），若 是一个整环，则有 ，而 是trivial的，从而由结论（iii）就得到了 ，然后根据结论（i）可以推测结论（ii）和结论（iv）.
根据定理6就将正则函数层与坐标环联系起来，故一个簇的坐标环具有几何结构，且有两个代数簇同构当且仅当它们的坐标环同构这样的结论，下面来看一个更强的结论.
定理7: 设 是两个仿射代数簇，则有 ，从而 给出一个仿射簇范畴和整环的有限生成代数范畴的箭头反向的范畴等价.
要证明定理7则需要下面的引理.
引理1: 设 ，则 是态射当且仅当对所有 ，是 上的正则函数，则对 ，有 是 上的正则函数
根据引理1就可以证明定理7，然后就可以得到下面的定理.
定理8: 两个仿射簇 同构当且仅当 .
定理8说明一个代数簇的坐标环几乎包含所有的信息，因此可以把代数几何与交换代数更紧密地对应起来，许多代数几何问题可以转化为交换代数问题.
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