上一篇文章《复几何及物理应用（从复流形到Calabi-Yau流形）》中已经提到了复流形以及层和上同调，本文就专注于这两块内容展开讨论，希望读者能喜欢.
参考文献：
1. Jean-Pierre Demailly. 《Complex Analytic and Differential Geometry》
2. Griffiths & Harris. 《Principles of Algebraic Geometry》
3. Huybrechts. 《Complex Geometry》
1.复流形的局部性质
本文所讨论的复流形是局部同胚于 中的开子集，且转移函数为解析函数的拓扑流形. 于是讨论复流形就是讨论 中 处的局部性质或在 处局部的全纯函数.
在多项式环上有经典的Hilbert基定理，Hilbert零点定理等成立，而由于复解析函数是比复多项式更大的函数族，如果直接将代数几何里的结果平移到复几何中存在一定的困难，但对于复流形一点处的函数芽，代数几何中的结果和复几何中的结果可以不作区分.
定义1（全纯函数芽环）: 中 处的全纯函数芽环 为全体在 处的一个邻域 内有定义的全纯函数 ，其中规定 , 若存在 为 的邻域，使得 .
定理1（Weierstrass 预备定理）：对任意 , 若 沿 坐标轴不恒为, 则存在唯一的分解 满足Weierstrass多项式 , 且有 .
证明: 首先构造出Weierstrass多项式 ，然后证明 是满足条件的解析函数即可. 假设 是 的函数在 的一个邻域 的阶为 ，即 ，那么当 在 的一个邻域 中变化时， 的零点也会变化，于是存在充分小的邻域，设其零点为 , 再选取适当的半径，由辐角原理可知，有 于是就可以构造出 , 且为解析函数， . 故 的零点与 的零点重合， 为满足条件的解析函数，存在性和唯一性都得证.
推论1: 全纯函数芽环 为唯一因子分解整环.
证明: 适当旋转坐标系使得任意 非零沿 方向均不恒为. 由于全体 的函数构成了全纯函数芽环 的可逆元，故只需要证明全体Weierstrass多项式满足唯一因子分解, 即 为唯一因子分解整环，于是由Gauss引理可知，只需要证明 为唯一因子分解整环. 然后可以由归纳法即可得证.
定理2（Weierstrass除法定理）：设 为次数 的Weierstrass多项式，则对任意 , 存在 次数小于 使得
证明: 选取适当的半径 , 将 改写为 .由于 可以通过 处的幂级数展开表示，且 是Weierstrass多项式，于是是一个多项式展开，然后提区出零次项因子 ，然后就有 . 故对于 就有又因为 是关于 的次数低于 的多项式，故定理得证.
推论2: 为Noether环.
证明: 先证明任意理想 是有限生成的，考虑上相应的Weierstrass多项式，如果 是有限生成的，那么对任意的 , 中的任意一个Weierstrass多项式 ，有 . 此时 ，于是 可以表示为 的线性组合，然后利用归纳法和Hilbert基定理可以证明 是有限生成的，因此 为Noether环.
推论3（弱零点定理）：设 不可约， ，则有 ，其中 表示 的零点集，即.
证明: 设 为Weierstrass多项式，由于 不可约，则在 中有 , 故 无重根，于是将 改写成 , 则有 ，故对任意 , 都至少有 个不同零点，因此 .
推论4（强零点定理）： 对 ，有，其中 , 是全体包含 的素理想的交.
证明：由于 是全体包含 的素理想的交，因此可以约化到素理想的情形，即证明任意 都有 . 由于素理想 的零点集是 在0局部的一个子簇 ，对于 处的一个邻域 内的解析函数环 , 商掉素理想 后得到的是 的函数环，而 上的函数满足的定义方程. 如果商掉的理想越大，则得到的子簇的维数就越低，故素理想的生成元个数上界也越低. 于是就可以证明对 ，有.
以上讨论的都是复流形的局部性质，为了获得复流形的整体性质，就需要将局部的性质粘合起来，因此要引入层的概念.
2.层和上同调
在复几何中如果要讨论局部性质及其如何反映整体性质，则应讨论局部的全纯函数以及其如何反映整体的全纯函数.
定义2: 给定拓扑空间 , 上的预层 对任意开集 确定交换群 , 成为 在 上的截面，且对任意开集的包含映射 ，确定一个限制映射 使得 或 .
定义3:若 上的预层 满足对任意 , 若有 ，则唯一存在 使得 , 此时称预层为 上的层.
根据 的全体开集在包含关系下构成一个范畴 , 预层范畴就是函子范畴 ，而层范畴则对包含映射在函子下对应的群同态的要求是，群同态上的某种拉回映射满足万有性质，因而层范畴是等同化子的函子范畴.
然后给出一些例子. 假设 是复流形，对交换群 ，则常数层 在 的截面定义为 . 光滑函数层 在 的截面定义为 . 全纯函数层 在 的截面定义为 . 对复全纯向量丛 , 局部自由层 在 的截面定义为光滑全纯截面 .
定义4: 给定拓扑空间 上的预层 ，预层在 的茎 ，茎中的元素称为芽，即 ，若存在 包含 , ，对于 , 有和 .
由于光滑函数芽环 是 在原点处的茎，再根据复流形的定义，光滑函数芽环 也同构于任何 为复流形 的全纯函数层 在任意一点处的茎.
定义5: 给定拓扑空间 上的预层 , 预层间的映射 对任何开集 给定映射 ，使得该映射与限制映射交换，于是有，层之间的映射即为对应预层间的映射， 为对应预层映射的核， 为对应预层映射的余核 的层化.
定义6: 给定拓扑空间 上的预层 ， 的层化为 ，对于任意开集 ， 为 到 的函数，使得 ，且存在 ，使得 .
由于层化函子是从层到预层的嵌入函子的右伴随函子，因此层到预层的嵌入保持余极限，但一般不保持极限，故层范畴的核就是预层范畴的核, 但余核不同.
引理1: 设 为层之间的映射，当且仅当 为同构时， 为同构.
由之前的文章《微分拓扑中的Morse理论（上）》中的定理8，即Whitehead定理可知，如果层上每个点处的茎是同构的, 那么两个层不一定同构，于是需要构造一个整体的层之间的映射，诱导每个点处茎的同构. 对于实流形而言，因为局部光滑函数总是可以延拓到整体, 而对整体光滑函数利用截断函数可以得到局部光滑函数，故不常使用层的语言. 但对于复流形, 讨论全纯函数时不可能做截断, 且有时整体的全纯函数给出的信息非常有限，如对于紧致复流形，由极大值原理可知，整体全纯函数必须是常数，因此层的语言就会被使用.
于是可以说明层的概念对复流形的表述是极为方便的，实际上层包含了从局部过渡到整体的粘合信息，且层蕴含了整体信息.
引理2: 设 为 上的层， 是左正合函子，即对于正合序列 总有正合列 .
但整体截面函子一般不是正合的.
定义7: 层上同调函子 为 的第 个右导出函子，即满足对于任意正合序列 ，都有长正合列.
对于导出函子有下面的存在性定理.
定义8: 上的层 称为内射对象，若对与任意单射 ，任意态射 可以延拓为 .
定理3: 上的任意层 存在内射消解, 即存在长正合列，其中 为内射对象，则有 .
定义内射对象的原因是需要内射消解中的每一项都满足泛性质后，构造不同消解之间的态射. 但这内射对象不易计算，于是就定义Čech上同调.
定义9: 给定 上的开覆盖 , 层 的Čech上链复形为
，边缘算子为 ， Čech上同调为 .
定理4: 给定 上的开覆盖 , 若对任意 , , 则 .
定理4说明了当保证拓扑空间上的开覆盖足够好，Čech上同调可以计算层上同调.
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