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【期末复习】沪科版八年级数学上册知识总结

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沪科版八年级数学上册知识总结

第十一章 平面直角坐标系小结

、平面内点的坐标特征

1、各象限内点P(a ,b)的坐标特征

   第一象限:a>0,b>0;第二象限:a<0,b>0;第三象限:a<0,b<0;第四象限:a>0,b<0

(说明:一、三象限,横、纵坐标符号相同,即ab>0;二、四象限,横、纵坐标符号相反即ab<0。)

2、坐标轴上点P(a ,b)的坐标特征

   x轴上:a为任意实数,b=0;y轴上:b为任意实数,a=0;坐标原点:a=0,b=0

(说明:若P(a ,b)在坐标轴上,则ab=0;反之,若ab=0,则P(a ,b)在坐标轴上。)

3、两坐标轴夹角平分线上点P(a ,b)的坐标特征

   一、三象限:a=b;二、四象限:a=-b

二、对称点的坐标特征

点P(a ,b)关于x轴的对称点是(a ,-b);

            关于y轴的对称点是(-a ,b);

            关于原点的对称点是(-a ,-b)

三、点到坐标轴的距离

点P(x ,y)到x轴距离为∣y∣,到y轴的距离为∣x∣

四、(1)横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴,平行于y轴;

   (2)纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴,平行于x轴。

五、点的平移坐标变化规律

    坐标平面内,点P(x ,y)向右(或左)平移a个单位后的对应点为(x+a,y)或(x-a,y);点P(x ,y)向上(或下)平移b个单位后的对应点为(x,y+b)或(x,y-b)。

  (说明:左右平移,横变纵不变,向右平移,横坐标增加,向左平移,横坐标减小;上下平移,纵变横不变,向上平移,纵坐标增加,向下平移,纵坐标减小。简记为“右加左减,上加下减”)

 

第十二章 一次函数

一、确定函数自变量的取值范围

1、自变量以整式形式出现,自变量的取值范围是全体实数;

2、自变量以分式形式出现,自变量的取值范围是使分母不为0的数;

3、自变量以偶次方根形式出现,自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0(即被开方数≥0)的数;

   自变量以奇次方根形式出现,自变量的取值范围是全体实数。

4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中,自变量的取值范围是使底数不为0的数。

(说明:(1)当一个函数解析式含有几种代数式时,自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分;

(2)当函数解析式表示具有实际意义的函数时,自变量取值范围除应使函数解析式有意义外,还必须符合实际意义。)

二、一次函数

1、一般形式:y=k x+b(k、b为常数,k≠0),当b=0时,y=k x(k≠0),此时y是x的正比例函数。

 

2、一次函数的图像与性质


3、确定一次函数图像与坐标轴的交点

(1)与x轴交点:,求法:令y=0,得k x+b=0,在解方程,求x;

(2)与y轴交点:(0,b),求法:令x=0,求y。


4、确定一次函数解析式———待定系数法

   确定一次函数解析式,只需x和y的两对对应值即可求解。具体求法为:

(1)设函数关系式为:y=k x+b;

  (2)代入x和y的两对对应值,得关于k、b的方程组;

  (3)解方程组,求出k和b。

5、k和b的意义

(1)∣k∣决定直线的“平陡”。∣k∣越大,直线越陡(或越靠近y轴);∣k∣越小,直线越平(或越远离y轴);

(2)b表示在y轴上的截距。(截距与正负之分)

 

6、由一次函数图像确定k、b的符号

(1)直线上升,k>0;直线下降,k<0;

(2)直线与y轴正半轴相交,b>0;直线与y轴负半轴相交,b<0

 

7、两条直线的位置关系


8、x=a和y=b的图象

   x=a的图象是经过点(a,0)且垂直于x轴的一条直线;

   y=b的图象是经过点(0 ,b)且垂直于y轴的一条直线。

9、由一次函数图像确定x和y的范围

(1)当x>a(或x<a)时,求y的范围。求法:直线x=a右侧(或左侧)图象所对应的y的取值范围。

  (2)当y>b(或y<b)时,求x的范围。求法:直线y=b上方(或下方)图象所对应的x的取值范围。

  (3)当a<x<b时,求y的范围。求法:直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围。

  (4)当a<y<b时,求x的范围。求发:直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。

  例如:如图

      

      

10、一次函数图象的平移

设m>0,n>0

(1)左右平移:直线y=k x+b向右(或向左)平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b或y=k(x+m)+b。

(2)上下平移:直线y=k x+b向上(或向下)平移n个单位后的解析式为y=k x+b+n或y=k x+b-n

(说明:规律简记为“左加右减,上加下减”,左右对x而言,上下对y而言。)

 

 

11、由图象确定两个一次函数函数值的大小

    

三、二元一次方程组的图象解法(略)

 

第十三章 三角形中的边角关系

一、三角形的分类

1、按边分类:2、按角分类:

二、三角形的边角性质

1、三角形的三边关系:

三角形中任何两边的和大于第三边;任何两边的差小于第三边。

2、三角形的三角关系:

三角形内角和定理:三角形的三个内角的和等于180°。

三角形外角和定理:三角形的三个外角的和等于360°。

3、三角形的外角性质

  (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;

  (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、三角形的角平分线、中线和高

 

(说明:三角形的角平分线、中线和高都是线段)

四、命题

1、命题:凡是可以判断出真(正确)、假(错误)的语句叫做命题。

2、命题分类          

 

 

 

3、互逆命题                                            4、反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子

                             称为反例。

(说明:交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。)

 

第十四章 全等三角形

全等三角形

一、性质:全等三角形的对应边相等;对应角相等。

二、判定:

1、“边角边”定理:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

                 

第十五章 轴对称图形与等腰三角形

一、轴对称图形与轴对称

1、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。(说明:轴对称图形的对称轴可以是一条,可能是多条或无数条。)

2、轴对称:如果一个图形沿着一条直线折叠,它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称。 这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点叫做对称点。

3、轴对称性质:

(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。

(2)如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线

1、定义:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2、性质:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。


                               ∵ 直线l垂直平分AB,点P在l上

 

∴ PA=PB

 

 

3、 判定:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

 

∵  PA=PB

 

∴ 点P在AB的垂直平分线上

 

三、等腰三角形

1、定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质:(1)等腰三角形两个底角相等。简称“等边对等角”。


          推论:等边三角形三个内角相等,每一个内角等于60°。  

     (2)等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。

        (等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一)

3、判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等。简称“等角对等边”。

      

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

      推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、等边三角形

1、定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质:等边三角形的三边相等;三个角都相等,每一个内角等于60°。

3、判定:(1)定义法:三边都相等的三角形是等边三角形;

        (2)三个角都相等的三角形是等边三角形。

        (3)有一个角是60°的三角形是等边三角形。

 

五、角的平分线

1、性质:角平分线上任意一点到角的两边的距离相等

 


六、直角三角形

1、定义:有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。

2、性质:(1)边性质:两直角边的平方和等于斜边的平方。(勾股定理)

        (2)角性质:两个锐角互余。

3、含30°角的直角三角形性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。


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