轴的设计计算（一）

一、轴的类型：

1、根据承受的载荷分：转轴、心轴和传动轴三种。

1）转轴：支承传动零件又传递动力，即既传递转矩又承受弯矩。（如齿轮减速箱的轴）

2）心轴：只承受弯矩而不传递转矩，如铁路车辆的轴、自行车的前轴。心轴又分为：固定心轴（工作时轴不转动）和转动心轴（工作时轴转动）

3）传动轴：只传递转矩而不承受弯矩或弯矩很小，如汽车的传动轴。

2、按轴线形状的不同轴可分为：直轴、曲轴和挠性钢丝轴。

直轴根据外形分：光轴、阶梯轴。

3、按轴的结构形状分：光轴、阶梯轴、实心轴、空心轴。

一般情况下轴制成实心的，但为了减轻重量（如大型水轮机轴、航空发动机轴等）或满足工作要求（如需在轴中心穿过其他零件或润滑油），也可用空心轴。

二、轴设计时应满足的要求：

轴的失效形式有断裂、磨损、振动和变形。设计轴时应满足下列要求：具有足够的强度和刚度、良好的振动稳定性和合理的结构。注意由于轴的使用条件不同，对轴的要求也不同，需对工作条件进行认真分析，设计时应满足设备的主要使用要求（如刚度、振动稳定性等）。

一般情况下，转轴的主要失效形式是交变应力下的疲劳断裂，因此，轴的工作能力主要取决于疲劳强度。

轴的设计，主要是根据工作要求并考虑制造工艺等因素，选用合适的材料，确定轴的合理外形，初算轴径进行轴的结构设计，定出轴的结构形状和尺寸，在进行轴的工作能力计算。

轴设计的基本准则是：

1）保证轴具有足够的强度和刚度，使用中不发生断裂和过大的弹性变形；

2）轴的结构具有良好的加工工艺性，轴上零件定位可靠、装拆方便。

三、轴的结构设计

轴的结构设计就是确定轴的合理外形和全部结构尺寸。

轴主要由轴颈、轴头、轴身三部分组成。轴上被支承的部分叫作轴颈，安装轮毂部分叫作轴头，连接轴颈和轴头的部分叫作轴身。轴颈和轴头的直径应该按规范取圆整尺寸，特别是装滚动轴承的轴颈必须按轴承的内径选取。

1、轴结构设计的主要要求：

1）满足制造安装要求，轴应便于加工，轴上零件要方便装拆；

2）满足零件定位要求，轴和轴上零件有准确的工作位置，各零件要牢固而可靠地相对固定；

3）改善受力情况，减少应力集中。

2、轴上零件的轴向定位和固定

轴肩或轴环：阶梯轴上截面尺寸变化的部位称为轴肩或轴环。

轴肩或轴环轴向定位的特点是：结构简单、可靠，并能承受较大的轴向力。轴肩分为：定位轴肩和非定位轴肩。

常见的轴向固定的方法有：

1）轴肩与轴环

特点是：结构可靠，不需要附加零件，能承受较大的轴向力。但该方法会使轴径增大，阶梯处形成应力集中，且阶梯过多将不利于加工。

设计注意要点：为保证零件与定位面靠紧，轴上过渡圆角半径r应小于零件圆角半径R或倒角尺寸C，且有r<R或C<轴肩高度h。

一般取定位轴肩高度h为（0.07~0.1）倍的轴直径d，轴环宽度b应大于或等于1.4倍轴肩高度h。

2）套筒

特点是：结构简单可靠，简化了轴的结构且不削弱轴的强度。常用于轴上两个近距离零件间的相对固定。但该方法不宜用于高转速轴。

设计注意要点：套筒内径与于轴一般为动配合，套筒结构、尺寸可视需要灵活设计，但一般套筒壁厚大于3mm。为确保固定可靠，与轴上零件相配合的轴段长度应比轮毂宽度略短1~3mm。

3）轴端挡圈

特点是：适用于固定轴端零件，肯承受剧烈震动和冲击载荷，工作可靠，能承受较大的轴向力，应用比较广泛。

设计注意要点：只用于轴端。应采用止动垫片等防松措施。轴端挡圈参见（GB/T 891-1986,GB/T  892-1986）。

4）圆锥面

结构特点：装拆方便，且可兼做周向固定。宜用于高速、冲击及对中性要求高的场合。

设计注意要点：只用于轴端。常与轴端挡圈联合使用，实现零件的双向固定。

5）圆螺母

结构特点：固定可靠，可承受较大轴向力，能实现轴上零件的间隙调整。常用于轴上两零件间距较大处，亦可用于轴端。

设计注意要点：为减小对轴强度的削弱，常用细牙螺纹。为防松，需加止动垫圈或使用双螺母。圆螺母（GB/T 812-1988）,止动垫圈（GB/T 858-1988）

6)弹性挡圈

结构特点：结构紧凑、简单、装拆方便，但受力较小，且轴上切槽将引起应力集中。常用于轴承的固定。

设计注意要点：轴上切槽尺寸见GB/T894.1-1986

7）紧定螺钉与锁紧挡圈

结构特点：结构简单，但受力较小，且不适于高速场合。

8）胀紧连接套

结构特点：既用于轴向定位也用于轴向定位。轴不需加工键槽，提高了轴的强度。对中性好，压紧力可调整，多次拆卸能保持良好的配合性质。轴的加工精度要求不高。可方便地在轴向和周向调整安装位置，拆装方便。

3、轴上零件的周向固定

轴上零件的周向固定，大多采用平键、楔键、切向键、花键、滑键、半圆键、销（圆柱销、圆锥销）、紧定螺钉或过盈配合等连接形式。常见的固定方法有键连接、花键连接、成型连接、弹性套连接、销连接和过盈配合连接等。

1）平键连接

特点：制造简单、装拆方便，对中性好。用于较高精度、高转速及冲击或变载荷作用下的固定连接，还可用于一般要求的导向连接。

齿轮、涡轮、带轮与轴的连接常用此形式。

2）楔键连接

特点：能传递转矩，同时能承受单向轴向力。由于装配后造成轴上零件的偏心或偏斜，故不适于要求严格对中、有冲击载荷及高速传动连接。

3）切向键

特点：可传递较大的转矩，对中性差，对轴的削弱较大，常用于重型机械中。一个切向键只能传递一个方向的转矩，传递双向转矩时，需用两个互成120°的切向键。

4）花键

特点：有矩形、渐开线及三角形花键之分。承载能力高、定心性及导向性好，制造困难，成本较高。适用于载荷较大，对定心精度要求较高的滑动连接或固定连接。三角形齿细小，适于轴径小，载荷轻或薄壁套筒的连接。

5）滑键

特点：键固定在轮毂上，键随轮毂一同沿轴上键槽作轴向移动。常用于轴向移动距离较大的场合。

6）半圆键

特点：键在轴上键槽中能绕其几何中心摆动，故便于轮毂网轴上装配，但轴上键槽很深，削弱了轴的强度。用于载荷较小的连接或作为辅助性连接，也用于锥形轴及轮毂连接。

7）圆柱销

特点：适用于轮毂宽度较小（如轮毂宽度与轴径的比值小于0.6即：l/d<0.6），用键连接难以保证轮毂和轴可靠固定的场合。这种连接一般采用过盈配合，并可同时采用几只圆柱销。为避免钻孔时钻头偏斜，要求轴和轮毂的硬度差不能太大。

8)圆锥销

特点：用于固定不太重要，受力不大但同时需要轴向固定的零件，或作安全装置用。由于在轴上钻孔，对强度削弱较大，故对重载的轴不宜采用。有冲击或振动时可采用开尾锥销。

9）过盈配合

特点：结构简单对中性好，承载能力高，可同时起周向和轴向固定作用，但不宜用于常拆卸的场合。对于过盈量在中等以下的配合，常与平键连接同时采用，一承受较大的交变、振动和冲击载荷。

4、各轴段直径和长度的确定

初步确定轴的直径时，通常还不知道支反力的作用点和支点跨距，，不能确定弯矩的大小和分布情况，因而还不能按轴所受的实际载荷及其引起的应力来确定轴的直径。但在进行轴的结构设计前，通常已能求出轴所受的扭矩。因此，轴的设计程序是先结构设计，然后强度校核，对不满足强度要求的部位，修改结构设计再校核强度，即结构设计和强度计算交替进行。可按轴所受的扭矩（转矩T）初步估算轴所需的直径。将初步求出的直径作为承受扭矩的轴段的最小直径dmin，然后再按轴上零件的装配方案和定位要求，从dmin处逐一确定各段的直径。

在实际设计中，轴的最小直径dmin亦可凭设计者的经验确定，或参考同类机器用类比的方法确定。

有配合要求的轴段，应尽量采用标准直径。如安装标准件（滚动轴承、联轴器和密封圈等）部位的轴径，应趣味相应的标准件的孔径值及所选配合的公差。

确定各轴段长度时，应尽可能使结构紧凑，同时还要保证零件所需的装配或调整空间。为了保证轴向定位可靠，与齿轮和联轴器等零件相配合部位的轴段长度一般应比轮毂宽度短2~3mm。

5、提高轴的强度的常用措施

1）改进轴上零件的结构以减小轴的载荷。（减少轴承受载荷的种类，弯矩、扭矩）

2）合理布置轴上的零件以减小轴的载荷。

当动力需从两个轮输出时，为了减小轴上的载荷，应尽量将输入轮置于中间。

把转动心轴改成固定心轴，可使轴不承受交变应力。

3）减小轴的应力集中。

结构设计时，应尽量减小应力集中，特别是合金材料对应力集中比较敏感，应当特别注意。

（1）尽量使轴径变化处过渡平缓，在阶梯轴的截面尺寸变化处应采用圆角过渡，且圆角半径不宜过小。当相配合零件内孔倒角或圆角很小时，可采用凹切圆角或过渡肩环。

（2）在设计时尽量不要在轴上打印、留下不必要的痕迹，开横孔、切口或凹槽，因为他们可能成为初始疲劳裂纹源，必须开横孔时需将边倒圆。

（3）在重要轴的结构中，可采用卸载槽B、过渡肩环或凹切圆角增大轴肩圆角半径，以减小局部应力。

（4）在轮毂上做出卸载槽B，也能减小过盈配合处的局部应力。

（5）键槽端部与阶梯处距离不宜过小，以避免损伤过渡圆角及减少多种应力集中源重合的机会。

（6）键槽根部圆角半径越小，应力集中越严重。因此在重要轴的零件图上应注明其大小。

4）改进轴的表面质量，提高轴的疲劳强度。

轴的表面越粗糙，疲劳强度越低。因此，应尽量减小轴的表面及圆角处的加工粗糙度值。当采用对应力集中甚为敏感的高强度材料制作轴时，表面质量尤应予以注意。

表面强化处理的方法 有：表面高频淬火等热处理；表面渗碳、氰化、氮化等化学热处理；辗轧、喷丸等强化处理。通过碾压或喷丸进行表面强化处理时，可使轴的表面产生预压应力，从而提高轴的抗疲劳能力。

6、轴结构工艺性要求（阶梯轴接近于等强度，所以轴形状多呈阶梯形）

1）加工工艺性

（1）为了便于切削加工，一根轴上的圆角应尽可能取相同的半径，退刀槽取相同的宽度，倒角尺寸相同，键槽、越程槽、退刀槽及中心孔等尺寸分别相同，并符合标准和固定，以利于加工和检验；

（2）轴上有多个键槽时，应将它们开在轴的同一轴线上，若开有键槽的轴段直径相差不大时，尽可能采用相同宽度的键槽，以减少换刀的次数，从而提高生产效率；

（3）轴的直径变化应尽可能少，应尽量限制轴的最大直径与各轴段的直径查，这样既能节省材料，又可减少切削量；

（4）轴上有磨削与切削螺纹的轴段，应留有砂轮越程槽（见GB 4603.5）和螺纹退刀槽(见GB/T 3-1997)，以保证加工的完整和方便；

（5）为了便于加工和检验，轴的直径应取圆整值；

（6）与滚动轴承相配合的轴颈直径应符合滚动轴承内孔标准；

（7）有螺纹的轴段直径应符合螺纹标准直径；

（8）轴上配合轴段直径应取标准值（GB/T  2822-2005）

2）装配工艺性

1）为了便于轴上零件的装配，常采用直径从两端向中间逐渐增大的阶梯轴，轴上的各阶梯，除轴上零件轴向固定的按手册资料确定轴肩高度外，其余仅为便于安装而设置的轴肩，轴肩高度可取0.5~3mm；

2）为了便于装配零件并去掉毛刺，轴端应加工出45°（或30°、60°）倒角；

3）轴上过盈配合部分的装入端常加工出半锥度为10°的导向锥面，以使零件能较顺利地压入；

4）固定滚动轴承的轴肩高度通常应不大于内圈高度的3/4，过高不便于轴承的拆卸。

5）轴上所有零件，都应无过盈地到达配合的部位。

6）为保证轴向定位可靠，与轮毂装配的轴段长度，应略小于轮毂宽（长）度2~3mm。

四、轴的工作能力计算

轴的工作能力计算主要包括强度计算、刚度计算和振动稳定性计算。

1、轴的强度计算

轴的强度计算有3种方法：按转矩估算轴径；按当量弯矩近似计算；安全系数的精确校核计算。

1）按扭转强度计算

对于传递转矩的圆截面轴，其强度条件为：

τ=T/WT=9.55x10^6*P/(0.2*d^3*n)

式中：

τ一轴上的扭转剪应力，MPa；

[τ]一材料的许用剪应力，MPa；

T一转矩，N*mm；

WT一抗扭截面系数，mm^3，对圆截面轴WT =π*d^3/16=0.2*d^3;

P一轴所传递的功率，kW；

d一轴的直径，mm；

n一轴的转速，r/min。

对于既传递转矩又传递弯矩的轴，也可按上式初步估算轴的直径（轴最细处的直径）；但必须把轴的许用剪切应力[τ]适当降低，以补偿弯矩对轴的影响。将降低后的许用应力代入上式后，并改写为计算公式，如下：

式中：C一由轴的材料和承载情况确定的系数，其值查表，当作用在轴上的弯矩比转矩小或只传递转矩时，C取较小值；否则取较大值。

注：当轴上开有键槽时，应增大轴径以考虑键槽对轴的强度的削弱。有一个键槽时，轴径增大3%~5%；有两个键槽时，应增大7%~10%。然后将轴径圆整。应当注意，这样求出的轴径，只能作为承受扭矩作用的轴的最小直径dmin。

或采用经验公式来估算轴的直径。例如，在一般减速器中，高速输入轴的直径可按与其相连的电动机轴的直径D估算，d=（0.8~1.2）D；各级低速轴的轴径可按同级齿轮中心距a估算，d=（0.3~0.4）a。

2）按弯扭合成强度计算（按当量弯矩近似计算轴的强度）

通过轴的结构设计，轴的主要结构尺寸、轴上零件的位置以及外载荷和支承反力的作用位置均已确定，轴上的载荷（弯矩和扭矩）已可以求得，因而可按弯扭合成强度条件对轴进行强度校核计算。一般的轴用这种方法计算即可。

轴的许用弯曲应力校核轴强度的方法设计计算步骤：

（1）做出轴的计算简图（即力学模型）。

计算时，常将轴上的分布载荷简化为集中力，其作用点取为载荷分布段的中心。作用在轴上的扭矩，一般从传动件轮毂宽度的中点算起。通常把轴当作置于铰链支座上的梁，支承反力的作用点与轴承的类型和布置方式有关。常见支承反力作用点类型有：向心轴承、角接触轴承、并列向心轴承、滑动轴承。相关数据查手册。

通常作用在轴上的载荷是由装在轴上的传动件（齿轮、带轮、链轮、联轴器等）传给的。轴与轴上零件的自重通常忽略不计，但对于有不平衡重量的高速回转轴须计入惯性力。由于载荷在零件上的作用宽度相对于轴的长度都较小，故将轴上的载荷简化为集中载荷，力的作用点取轮毂宽度的中心，力矩的作用点取轮毂宽度的中心。

在绘制计算简图时，应先求出轴上受力零件的载荷(若为空间力系，应把空间力系分解为圆周力、径向力和轴向力，然后把它们全部转化到轴上)。然后求出各支撑处的水平反力FNH和垂直反力FNV。

（2）绘制弯矩图M。

根据上述简图，分别按水平面和垂直面计算各力产生的弯矩，并按计算结果分别做出水平面上的弯矩图MH和垂直面上的弯矩图MV；然后按下式计算合成弯矩并做出合成弯矩图M。

(3)绘制扭矩图T。

（4）求当量弯矩。

做出合成弯矩图M和扭矩图T后，求出当量弯矩。对于一般钢制的轴，可用第三强度理论推出：

式中：

Me一当量弯矩，N*mm；

α一根据转矩性质而定的折算系数。对不变的转矩，α=0.3；当转矩脉动循环变化时，α=0.6；对于频繁正反转的轴，τ可看为对称循环变应力，α=1。若转矩变化规律不清楚，一般也按脉动循环处理。

（5）选危险截面，进行轴的强度校核。

①确定危险剖面。根据弯矩、转矩最大或弯矩、转矩较大而相对尺寸较小的原则和考虑应力集中对轴的影响选一个或几个危险截面。

②轴的强度校核。针对某些危险截面，做弯扭合成强度校核计算。其强度条件为

式中：

[σ-1b]一材料在对称循环状态下的许用弯曲应力，MPa；

计算轴的直径时，W=πd^3/32=0.1d^3,则上式可改写为

由于心轴工作时只承受弯矩而不承受扭矩，所以在计算时，T=0。转动心轴的弯矩在轴截面所引起的应力时对称循环变应力。对于固定心轴，考虑启动、停车等的影响，弯矩在轴截面上所引起的应力可视为脉动循环变应力，所以在计算时，固定心轴的许用弯曲应力为[σ0b]( [σ0b]为脉动循环变应力的需用弯曲应力)，[σ0b]=1.7[σ-1b]。

如果轴端装有补偿式联轴器或弹性联轴器，由于安装误差和弹性元件的不均匀磨损，将会使轴及轴承受到附加载荷，附加载荷的方向不定。附加载荷的计算查相关资料。

3）按疲劳强度条件进行精确校核

这种校核计算的实质在于确定变应力情况下轴的安全程度。在已知轴的外形、尺寸及载荷的基础上，即可通过分析确定出一个或几个危险截面（这是不仅要考虑弯曲应力和扭转剪应力的大小，而且要考虑应力集中和绝对尺寸等因素影响的程度），求出计算安全系数Sca并应使其大于或等于许用安全系数，即

Sσ=σ-1/(Kσ*σa/(β*ϵσ)+φσ*σm)

Sτ=τ-1/(Kτ*τa/(β*ϵτ)+φτ*τm)

式中：

Sca一计算安全系数；

Sσ、Sτ一仅受弯矩、扭矩作用时的安全系数；

σ-1、τ-1一对称循环应力时试件材料的弯曲、扭转的疲劳极限，MPa；

β一轴的表面质量系数；

ϵσ、ϵτ一受弯曲、扭转时轴的尺寸系数；

σa、τa一弯曲、扭转的应力幅，MPa；

φσ、φτ一弯曲、扭转时平均应力折合为应力幅的等效系数；

σm、τm一弯曲、扭转的平均应力，MPa；

[S]一许用安全系数；

[S]=1.3~1.5，用于材料均匀，载荷与应力计算精确时；[S]=1.5~1.8，用于材料不够均匀，计算精确度较低时；[S]=1.8~2.5，用于材料均匀性精确度很低，或轴的直径d>200mm时。

4）按静强度条件进行校核

静强度校核的目的在于评定轴对塑性变形的抵抗能力。这对那些瞬时过载很大，或应力循环的不对称性较为严重的轴是很必要的。轴的静强度是根据轴上作用的最大瞬时载荷来校核的。静强度校核时的强度条件为

S0σ=σs/σmax

S0τ=τs/τmax

式中：

S0一静强度计算安全系数；

S0σ、S0τ一弯曲和扭转作用的静强度安全系数；

[S0]一静强度许用安全系数，若轴的材料塑性高（σs/σb≤0.6）,取[S0]=1.2~1.4；若轴的材料塑性中等（σs/σb=0.6~0.8）,取[S0]=1.4~1.8；若轴的材料塑性较低，取[S0]=1.8~2；对铸造的轴，取[S0]=2~3。

σs、τs一材料抗弯、抗扭屈服极限，MPa；

σmax、τmax一尖峰载荷所产生的弯曲、扭转应力，MPa。

2、轴的刚度计算

1）刚度条件

轴受弯矩作用是会产生弯曲变形，受转矩作用时会产生扭转变形。为了使轴不致于因刚度不足而失效，设计时必须根据轴的工作条件限制其变形量，即

挠度   y≤[y]

偏转角 θ≤[θ]

扭转角 φ≤[φ]

式中：

[y]、[θ]、[φ]一许用挠度、许用偏转角和许用扭转角，其数值查相关手册。

2）弯曲变形计算

计算轴在弯矩作用下所产生的挠度y和偏转角θ的方法很多。

本文只简单介绍两种：

（1）按挠曲线的近似微分方程式积分求解；常用于求解等直径轴。

（2）变形能法。常用于求解阶梯轴。

3）扭转变形的计算

等直径的轴受转矩T作用时，其扭转角φ（rad）可按材料力学中的扭转变形公式求解，即

φ=T*l/(G*Ip)

式中：

T一转矩，N*mm；

l一轴受转矩作用的长度，mm；

G一材料的切变模量，MPa；

Ip一轴截面的极惯性矩，mm^4。

Ip=π*d^4/32

对于阶梯轴，其扭转角φ（rad）的计算式为

式中：

Ti、li、Ipi一阶梯轴第i段上所传递的转矩、长度和极惯性矩。

3、轴的振动稳定性计算

受周期性载荷作用的轴，如果外载荷的频率与轴的自振频率相同或接近时，就要发生共振。发生共振时的转速，称为临界转速。如果轴的转速与临界转速接近或成整数倍关系时，轴的变形将迅速增大，以致使轴或轴上零件甚至整个机械发生破坏。

大多数机械中的轴，虽然不受周期性载荷的作用，但由于轴上零件材质不均，制造、安装误差等使回转零件的重心偏移，回转时会产生离心力，使轴受到周期性载荷作用。因此，对于高转速的轴和受周期性外载荷作用的轴，都必须进行振动稳定性计算。所谓轴的振动稳定性计算，就是计算其临界转速，并使轴的工作转速远离临界转速，避免共振。

轴的临界转速有多个，最低的一个称为一阶临界转速ncr1，其余依次类推，在一阶临界转速下，振动激烈，最为危险，所以通常主要计算一阶临界转速。工作转速n低于一阶临界转速的轴称为刚性轴，对于刚性轴，通常使n≤（0.75~0.8）ncr1；工作转速n超过一阶临界转速的轴称为挠性轴，对于挠性轴，通常使1.4ncr1≤n≤0.7ncr2。

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