汪跃中："见招拆招"看功夫——和特级教师万尔遐先生讨论解数学高考题的功夫
"见招拆招"看功夫
——和特级教师万尔遐先生讨论
解数学高考题的功夫
文/汪跃中
本文及相关材料由汪跃中老先生提供，
并得到万尔遐老先生授权在本公众号发表。
编者向两位老先生表示感谢！
祝两位老先生健康长寿，幸福快乐！
1984年,万尔遐老师参加完全国高考数学命题回来后,于当年7至8月份,在湖北省高考数学阅卷点:华中科技大学,我和他共同主持了高考数学质量分析工作,重点讨论了,怎样评价考生解数学高考题的能力水平,用现在流行的话语,就是怎样看考生解答数学高考题的功夫.
距离1984年,已经过去35年了,我们俩都退休了,回顾那个年代的事,可以比较随意谈一些个人想法和认识了,下面用对话,将讨论作成纪要如下:
汪(跃中,以下简称汪) :
功夫：首先它是武功，武术的别称，引申到其它领域,为达到了一定的境界的某一项技能。
解数学题的功夫,是指为达到一定境界的数学解题技能。万老师能否说说你的看法?
万(尔遐,以下简称万):
可以,我认为:数学解题,从成本和效益的角度看问题有两大说法,一曰大题小作,二曰小题大作.显然大题小作,是用低成本获高效益,即平常所说的事半功倍,是智者的行为;而小题大作,是高成本获低效益,即平常所说的事倍功半,是庸者的行为.
我们先看2013年湖北卷第13题.
(一) 庸者大作 智者小作
[考题1] 设x,y,z∈ R,且满足x2+y2+z2=1,
x+2y+3z=√14,则x+y+z=__.
[回顾] 这是一个排在第13号位上的填空题,满分5分,当然应该考虑小题小作.
[思考1] 视x+2y+3z=√14为x2+y2+z2=1的变式,故有将前式左边化1,从而产生了两式之间的比较法.
[解法1] 由x+2y+3z=√14变形得
(1/√14)x+(2/√14)y+(3/√14)z=1 (1)
又知 x2+y2+z2=1 (2)
比较(1),(2)两式得到,
x=1/√14,y=2/√14,z=3/√14,
故有 x+y+z=6/√14 (答案).
[点评] 此解为小题小作,心算可得,不需草稿,是为智解.
[思考2] 学了不等式的选修内容之后,有了柯西不等式的解法.
[解法2] 已知x2+y2+z2=1,
易知1^2+2^2+3^2=14,
由柯西不等式得
(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(1^2+2^2+3^2),
得(x+2y+3z)2≤14,
两边取算术平方根得
x+2y+3z≤√14, (1)
又知x+2y+3z=√14, , (2)
将(2)式与(1)式比较,以下求(1)式中等号成立的条件,
按柯西不等式则有常数r存在,x=r,y=2r,z=3r,
一同代入(2)式,得r+2x2r+3x3r= √14,
由此解得 r= √14/14=1/√14.
故得x+y+z=r+2r+3r=6/ √14,(答案).
[点评] 杀鸡用了牛刀,典型的小题大作,柯西不等式的解法在这里变成了庸解.
[思考3] 把x+2y+3z= √14看作是14的算术根,于是就有了平方后的配方法.
[解法3] 由已知条件可得
14=(x+2y+3z)2=x2+2^2y2+3^2
z2+2(x)(2y)+2(2y)(3z)+2(3z)(x) (1)
又14=(1^2+2^2+3^2)(x2+y2+z2)
=x2+y2+z2+2^2x2+2^2
z2+3^2x^2+3^2y^2+3^2z^2. (2)
由(1),(2)两式得到
2(x)(2y)+2(2y)(3z)+2(x)(3z)
=y2+z2+2^2
z2+2^2x^2+3^2x^2+3^2y2,
于是有(2x-y)2+93y-2z)2+9z-3x)2=0,
从而有x:y:z=1:2:3,得x+y+z=6x (3)
则有1=x2+y2+z2=x2+4x^2+9x^2=14x^2,
解得x=1/√14.
代入(3)式,得x+y+z=6/√14. (答案).
[点评] 此法实为柯西不等式的变形,同样是小题大作,庸解!
[思考4] 视x2+y2+z2=1为球的方程,
x+2y+3z=√14为平面的方程,则有以下的"超解"!
[解法4] 易知求x2+y2+z2=1的球心为0(0,0,0),
球心到平面的距离为
√14/√(1^2+2^2+3^2)=1.
说明球与平面相切,易得切点的坐标为
(1/√14,2/√14,3/√14),
所以x+y+z=6/√14 (答案).
[点评] 此解可心算完成,之所以称"超解",是因为高中生没有学习空间解析几何,是通过类比法求得填空题的结果,此法不可普及.
[思考5] 设x+2y+3z=√14为两个向量(1,2,3)与向量(x,y,z)的数量积,于是就有了向量坐标的同向法.
[解法5] 向量(1,2,3)·(x,y,z)
=|(1,2,3)|·|(x,y,z)|.cosθ=√14,
即√14·1·cosθ=√14,得cosθ=1,
故两向量同向,得(x,y,z)= λ(1,2,3),
即x=λ,y=2λ,z=3λ,并由x2+y2+z2=1,
解得 λ=1/√14.
所以x+y+z=6/√14 (答案).
[点评] 写得祥尽,思路非常清楚,可以心算口答,仍属小题小作,智解.
[小结] 一题多解,绝对不能从形式上罗列,否则造成良莠不齐,形成思想上的混乱,解决的办法是,要从多解上找到共同的题根.
汪:你列举的这道高考题的五种解法中,解法1和解法5是智解,解法2和解法3是庸解,解法4是超纲解法,那么,怎样才能避免庸解呢?
万:心中有根者,能大题小作(智解),心中无根者,则小题大作(庸解).
(二).蓦然回首 教材寻根
同题异模体现了试题的开放性,多解同根,体现了试题的基础性,一道试题若能同时具备这两种性质,它就有较好的灵活性和区分度,事实上,这样的好题年年都有,各地都有.
[根题] 已知a2+b2=1,且x2+y2=1,求证:ax+by≤1.
[点评] 此题为教材上的一道例题,相对于考题1来讲,它是一道根题.以下我们来比较它的多种解法,并从中找到题根.
[解法1](柯西不等式法)
已知x2+y2=1,a2+b2=1,由柯西不等式得
(ax+by)^2≤(a2+b2)(x2+y2),
即得(ax+by)^2≤1,即得-1≤ax+by≤1,
从而有ax+by≤1.
等号成立的条件,按柯西不等式,有常数λ存在,
使得x=λa,y=λb.
[点评] 由柯西不等式得到了ax+by的下界-1和上界1,我们只关心其值不小于0时的上界1,此时的λ=1,即取得上界1的条件是x=a,y=b.
[解法2](分析法证不等式)
欲证0≤ax+by≤1, (1)
即证(ax+by)^2≤(a2+b2)(x2+y2),即证
a2x2+2axby+b2y2≤a2x2+a2y2+b2x2+b2y2,
即证2aybx≤a2y2+b2x2,
即证(ay-bx)^2≥0, (2)
显然(2)式真,当ay=bx,即(a/x)=(b/y)=λ(常数)时,等号成立.
[点评] 当ax+by<0时,不等式ax+by≤1显然成立,故所证明的问题可以转化到ax+by≥0而证明,此时ax+by=1的条件为λ=1,x=a,y=b.
[解法3] (三角法)
在a2+b2=1中,设a=cosα,b= sinα;在x2+y2=1中,
设x=cosβ,y=sinβ.于是有
ax+by=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)≤1,
即得ax+by≤1,
等号成立的条件是 α=β+2kπ (k∈Z).
[点评] cos(α-β)的值域为[-1,1],我们关心它的上界,所以有cos(α-β)≤1.
[解法4] (向量法)
视ax+by为向量(a,b)和向量(x,y)的数量积,则有
ax+by=(a,b)·(x,y)=|(a,b)|·|(x,y)|·cosΘ ≤1,
即是ax+by≤1，
等号成立的条件是cosΘ=1,证毕.
[点评] cosΘ值域为[-1,1],我们只关心它的上界1.
[总评] 比较以上4种解法,以向量法为优解,我们可以在向量法中找到本题的题根.由cosΘ=1得Θ =0,此时两单位向量(a,b)和(x,y)的夹角为0,这时两向量为相等向量,故本题的题根为:
两单位向量(a,b)和(x,y)的数量积不大于1,两单位向量的数量积等于1是两单位向量相等的充要条件.
[根题推广] 利用向量法可以把根题由二元推向三元,若a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1,则有ax+by+cz≤1,证明如下:
ax+by+cz为两向量(a,b,c)和(x,y,z)的数量积,
则有
ax+by+cz=|(a,b,c)|·|(x,y,z)|·cosΘ=cosΘ≤1,
等号成立的条件是两向量相等,即x=a,y=b,c=z.
[回顾] 单位向量有如此简明的性质,启发我们把非单位向量化为单位向量来解.比如考题1的单位向量。
解法:由x+2y+3z=√14 得到
(1/√14)x+(2/√14)y+(3/√14)z=1 (1)
(1)式的左边可视为两单位向量(x,y,z)和
((1/√14),(2/√14),(3/√14))的数量积,故有
(1/√14)x+(2/√14)y+(3/√14)z
=|(x,y,z)|·|((1/√14 ),(2/√14 ),(3/√14 )|≤1,
等号成立的条件是两向量相等,
即x=1/√14,y=2/√14,z=3/√14,
故有x+y+z=6/√14.
汪:根题变换,是高考数学命题人的主导思想方法吗?
万:是的.它是每年考题更新的重要思想方法.
(三).根题变换 考题更新
在(二)最后提到的根题之原命题,有这样的形式:a²+b²=1,x²+y²=1=>ax+by≤1.
注意三等式a²+b²=1,x²+y²=1,ax+by=1不可共存,
其中必有一个为不等式.
例如x²+y²=1,ax+by=1=>a²+b²≥1.
以上都是根题的变式,高考出题,经常以这些变式为题根,命制考题.比如2008年全国I卷第10题就是这样来的.
[考题2]若直线(x/a)+(y/b)=1与圆x²+y²=1有公共点,则(1/a²)+(1/b²)的取值范围为____.
[思考1] 已知条件是一次方程,指明为直线,二次方程指明为圆,故本题的优解是解析法.
[解法1] 直线与圆有公共点的条件,是直线到圆心的距离不大于半径,于是有:
(|-1|/√(1/a²)+(1/b²))≤1,
解之得(1/a²)+(1/b²) ≥1(答案)
[点评] 这种优解,可实现不动稿纸,一望而答.智解!
[思考2] 如果不将直线方程的截距式看成一般式,则可能出现如下的拙解.
[解法2] 化直线的截距式为一般式,
得bx+ay-ab=0.
再令原点到该直线的距离不大于1,
则有(|-ab)|/(√(a²+b²)≤1,
于是有a²+b²≥a²b²,即得(1/a²)+(1/b²)≥1(答案).
[点评] 此解之拙,在于抛弃了原直线方程的分数系数1/a和1/b.
[思考3] 视直线的截距式为向量的数量积,直接用数量积的定义解题,妙解!
[解法3]设向量(1/a,1/b)和向量(x,y),则有
(x/a)+(y/b)=(1/a,1/b)·(x,y)
=|(1/a),(1/b)|·|(x,y)|cosΘ=1,
得(1/a²)+(1/b²)≥1(答案).
[点评] 此解之妙,把图形化成向量,同样可以一望而答,智解!
[思考4]视直线方程与原方程为二元二次方程组,从而有了消元后的判别式法.
[解法4] 直线方程与原方程联立,消y得一元二次方程:
(a²+b²)x²-2ab²x+a²b²-a²=0,
令方程的判别式不小于0,得
(-2ab²)2-4(a²+b²)(a²b²-a²)≥0,
解得(1/a²)+(1/b²)≥1(答案).
[点评] 此解显然是一种拙解,不能心算完成,而得花一大张稿纸.庸解!
[思考5] 视等式为不等式的特例,从而有了不等式的"放缩法".
[解法5] 将直线方程两边平方,得
((x/a)+(y/b))²
=(x²/a²)+2(x/a)·(y/b)+(y²/b²)=1 (1)
其中2·(x/a)·(y/b)=2·(x/b)·(y/a)
≤(x²/b²)+(y²/a²) (2)
代(2)入(1),得
((1/a²)+(1/b²))x²+((1/a²)+(1/b²))y²≥1,
即((1/a²)+(1/b²))(x²+y²)
=(1/a²)+(1/b²)≥1(答案).
[点评]抛弃图形和向量,投向纯代数运算,用不等式的放缩法,实为一种拙解.庸解!
[思考6] 如果先把 x²+y²=1三角化,
即令x=cosα ,y=sinα,则有如下的三角解法.
[解法6] 则有(cosα/a)+(sinα/b)
=√((1/a²)+(1/b²))cosΘ=1,
由此得(1/a²)+(1/b²)≥1(答案).
[点评] 这也是一种优解,这种优解实际上是当年的文科题,而对应的理科题是:
若直线(x/a)+(y/b)=1通过点M(cosα,sinα),求(1/a²)+(1/b²)的取值范围.
[总结] 如果本题条件中不点明一次方程是直线,二次方程是圆,将问题变成"若(x/a)+(y/b)=1,
x²+y²=1,求(1/a²)+(1/b²)的取值范围",考生不一定会想到用解析法,最优解法是向量法.
[寻根]我们将考题2进行如下的变换:
用a去替代1/a,用b去替代1/b,则原命题变为:
ax+by=1,x²+y²=1=> a²+b²≥1.
再对此式进行条件置换,可得
x²+y²=1,a²+b²=1,=> ax+by≤1.
后面的这个命题就是我们的根题.本来这个根题在教材的不等式中,而它的思想之根却在向量之中,这种现象称作题目与题根之间 的迁移,高考出题,经常利用这种迁移命制新题,对于考题2,我们可以按以上思想再作各式各样的迁移,从而得出各式各样的新题,比如下面这道新题就是从考题2中而来:
已知 x²+y²=1,(1/a²)+(1/b²)=1,
求证:(x/a)+(y/b)≤1.
高考新题就是这样制作出来的,所谓暗箱操作,就是在变这种魔术.
汪:最后请将你一生的教学经验,练成的解数学高考题的功夫,用几句话总结一下如何?
万:"课有本,题有根,题根课根联考根,"
"考官请出题根来,出题解题两和谐,"
'钥开锁,人开窍,题根点击显成效,"
"以少胜多治病方,捧出题根祝健康."
离今年的高考还有四天时间了，发这篇文章的目的，是想向第一线数学教师们，介绍从高考数学命题人的角度，认识和执行高考数学考纲的情况，其目的是探讨高中数学教学改革的方向，怎样提高教学质量，摆脱盲目的高考备考中的题海战术，争取更好的数学高考效果！
【万尔遐简介】湖北省孝感市人，北京师范大学数学系毕业。特级教师，享受国务院政府特殊津贴的教育专家，中国数学会普及教育工作会员。湖北省孝感市文昌中学教学校长，北京师范大学教育科学研究所课改专题研究员。中学任教38年，跟踪高考29年。曾参加全国高考命题工作，是“出活题、考基础、考能力”的倡导者。
【作者简介】汪跃中，湖北省孝感市人，武汉华中师范大学数学系毕业，武汉市教育科学研究院数学科原主任，特级教师，湖北省暨武汉市数学会理事、中数学部委员，武汉市中数学科带头人，武汉市中学数学教学研究会常务副会长兼秘书长。
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