杨俊——2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题二 第11题背景探源与解答（内附全部试题）

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2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）第11题背景探源与解答

深圳高中教师        杨俊

11: 已知正实数x,y,z满足(x+y+z)xyz=4,

求M=(x+y)²+2(y+z)²+3(z+x)²的最小值。

解析：此题的背景源自第三届IMO试题：

已知三角形ABC的边长为a,b,c,面积为S,

证明a²+b²+c²≥4√3S,并指出等号成立的条件。

此不等式即为Weitzenbock不等式,利用海伦公式和均值不等式不难证得,只有当a=b=c时有三边平方和的最小值4√3S。

肯定有人会有疑问,这两题之间有关联吗？

有的,而且这道19年CMO夏令营的试题就是该不等式的加权版。这里我们给出两种证法。

由题,不妨令a=x+y,b=y+z,c=z+x,原条件(x+y+z)xyz=4等价于p(p-a)(p-b)(p-c)=4,其中p=(a+b+c)/2也就是说, 三角形ABC满足面积为S=2,求M=a²+2b²+3c²的最小值。

法2：如图,满足题意的三角形必然是一个锐角三角形,不然,在同样面积的情况下,钝角三角形会有更大的边长。

不妨设BC边长的高AD=h,CD=x,BD=a-x,

可得M=a²+2b²+3c²=a²+2(h²+x²)+3[(a-x)²+h²].

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