谢伦驾、李有贵——同心圆线段长度最值问题的两个几何+不等式解法

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同心圆线段长度最值问题的两个几何

+不等式解法

江西谢伦驾     山西李有贵   

题目：已知两同心圆的圆心为O半径分别为1和√5，

点A在小圆上运动,点P点Q在大圆上运动,若APꓕAQ,

求PQ的最大值和最小值。

解法1(谢伦驾  提供)

如图,作OCꓕAP,ODꓕAQ,垂足分别为C,D.

设OD=x,OC=y,则x²+y²=OA²=1.

又OP²-OA²=(CP²+y²)-(CA²+y²)=CP²- CA²

=(CP+CA)(CP-CA)=AP(AP-2x)=4,

所以2x =AP-4/AP.同理，2y =AQ-4/AQ.

注意到x²+y²=1得

（AP-4/AP）²+（AQ-4/AQ）²=4,

即20=AP²+AQ²+16/AP²+16/AQ²

≥AP²+AQ²+64/(AP²+AQ²)（权方和不等式）

=PQ²+64/PQ²,

即PQ⁴-20PQ²+64≤0，解得2≤PQ≤4.

故PQ的最大值为4，最小值为2。

解法2（李有贵  提供）

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