【美不胜收】求解动点轨迹方程的的七种解法------全方位，无死角！！！

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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  定义法  
运用解析几何中一些常用定义(例如圆，椭圆，双曲线和抛物线)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。常见一些基本曲线的定义如下：①圆：到定点的距离等于定长②椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)③双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)④抛物线：到定点与定直线距离相等。例题：已知圆(x+4)²+y²=25的圆心为M₁，圆(x-4)²+y²=1的圆心为M₂，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。备注：算出轨迹方程之后，要结合题意，注明变量x，y的范围变式1：一动圆M与圆O₁：x²+y²=1外切，而与圆O₂：x²+y²-6x+8=0内切，那么动圆圆心M的轨迹方程。变式2：若B(-8,0)，C(8,0)为△ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和为30，求△ABC的重心轨迹方程。

  直接法  如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系(几何、三角或者向量表达式等)，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。直接法解题步骤如下：① 设点：设动点的坐标为(x，y)② 列式：根据题目已知条件得到等量关系式③ 化简：整合关系式④ 范围：确认变量x，y的取值情况例题：动点P到两个定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之比等于2，即￨PA￨: ￨PB￨=2:1,求动点P的轨迹方程。变式1：点M(x，y)到直线x=8的距离和它到定点F(1，0)的距离的比为2，则求动点M的轨迹方程。变式2：分别过A₁(-1，0)，A₂(1，0)作两条互相垂直的直线，则求它们的交点M的轨迹方程。

  几何法  若所求的轨迹满足某些几何性质(如直线垂直，线段垂直平分线，角平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半等)，可以列出几何等式，再带入点坐标求出轨迹方程，这种方法被称为几何法。例题：过点P(2,4)做两条互相垂直的直线L₁,L₂，若L₁交x轴于A点，L₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。变式：过圆O：x²+y²=4外一点A(4，0)，作圆的割线，求割线被圆截的的弦BC中点M的轨迹方程。

  相关点法  动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x₀,y₀)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x₀,y₀表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，称为相关点法。相关点法解题步骤：① 设形成轨迹的动点P坐标为(x,y);② 设点Q的坐标为(x₀,y₀)，且有F(x₀,y₀)=0;③ 动点P随着点Q有规律的运用可得：x₀=f(x,y)，y₀=g(x,y)；④ 把x₀=f(x,y)，y₀=g(x,y)带入F(x₀,y₀)=0，即可求出点P的轨迹方程。例题：抛物线y²=4x的通径与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

变式1：从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

变式2：设点M(-3，4)，动点N在圆x²+y²=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程。

  参数法  有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数)，使x，y之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，便可得动点的轨迹方程，这种方法被称作参数法。例题：过点A(0，1)做直线L与抛物线：x²=4y交于D，E两点，O为坐标原点，求△ODE的重心G的轨迹方程。变式：设抛物线y²=4x的准线为L，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，又PQ⊥L，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程。

  点差法  若设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，将这两点带入圆锥曲线的方程并对所得两式做差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种带点做差的方法为“点差法”。点差法对于解决弦中点轨迹问题非常有效。例题：求抛物线y²=4x的过焦点F的弦的中点M的轨迹方程。变式：过原点的直线L和抛物线y=x²-4x+6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

  交轨法  在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程，该法通常与参数法同时使用。交轨法解题步骤：①根据题意已知动曲线F(x，y)=0和动曲线G(x，y)=0相交于点P，设动点P的坐标为(x，y)②将F(x，y)=0与G(x，y)=0联立，求得交点坐标即可。备注：得到的交点坐标通常含有参数，还会有一个消参的过程。例题：如图，已知抛物线C：y=x²，动点P在直线L：x-y-2=0上运动，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点，求△APB的中心G的轨迹方程。变式：已知椭圆：x²/3+y²/2=1的左，右焦点分别为F₁和F₂，直线L₁过F₂且与x轴垂直，动直线L₂与y轴垂直，L₂交L₁于点P。求线段PF₁的垂直平分线与直线L的交点M的轨迹方程.

文章转自：高中数学王晖

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立 冬

立冬落叶黄，寒雨慢敲窗。

风起路边舞，初雪兆北疆。

 再荒凉的季节，都不要忘记，开在心中的花朵，永远不会凋零；再困难的时候，都要记住，最美的永恒，从来不会，向命运妥协。命运，从来不会，厚此薄彼，无论是谁，只有经过，风雨中的前行，才有岁月的阳光，拥有着红尘的深情与温暖；只有走过，一路山高水长，才有季节的灿烂，绽放一树，美好和安宁。

（以上诗文由汪跃中老先生提供）