杨俊——构造函数,巧解函数导数的不等式之二
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广东深圳 杨俊
上节课,我们讲解了这个类型题的一般方法,就是去寻找谁求导后会得到条件所给的式子,也就是一个寻找原函数的过程。如果你认为这个类型的题已经掌握了,没有问题了,那就危险了,因为现实总会给你当头一棒,让你知道,不遇到几个变态的题目,是不敢说已经彻底没问题了的。
解析：这个表达式的原函数很不好求解,一般人都会卡在这里无法进一步前进,那我们还是先看看解答过程,再回头来仔细思考。
只要这一步想到了,后续的过程就很容易处理了。这里我们给出两种办法来得到这个函数。
我们猜想:会不会是一个分式结构的函数求导后会得到这个式子呢？
但是除了f(2x)这部分容易想到,其他的部分还一下看不出来,但是,这个系数4给了我们一定的提示,好像x4求导后会出现系数4.不妨试试g(x)=x4f(2x) ,发现
经过总结,为了彻底的解决这类寻找原函数的问题,有能力的学生可以提前讲解一下有关不定积分的内容才好,不然这次运气好,找对了,下次又可能找不对了。
【编者按】编者在读稿时觉得杨俊老师如下解析部分不够严谨：
真是“踏破铁鞋无觅处，得来且不费功夫”。构造法“千锤百炼成”，特值法“秒解偶得之”。
解析：此题源自2013年辽宁卷理科12题,作为选择题的压轴题,必然有东西在里面。
通过观察发现,谁求导后会得到x2f’(x)+2xf(x)呢,这个倒是很容易想到,就是g(x)= x2f(x)但问题是：谁求导后会得的ex/x呢？想不到,确实想不到,有了不定积分的知识可知,这个函数的原函数是不能用初等函数表示出来的。那怎么办呢？
通过这两道例题的学习,能进一步拓展我们对这个类型题目的了解,能求出原函数是最理想的,如果不行,我们也有另外的办法来解决。做为一个高三学生，我们除了掌握好双基之外,要对一些类型的题目进行更深入的研究,从而提升我们解决问题的能力,这才是提升数学成绩最管用的方法。
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