万尔遐、汪跃中——函数最根与高考题

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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函数最根与高考题

原创 /万尓遐        整理/ 汪跃中

目录

(一) 二次函数最值寻根

二次函数最值对应的“最值点”(以下简称“最点”)，俗称函数“最值的根”，简称“最根”。

(二) 从x=-(b/2a) 到2ax+b=0

函数求“最根”的问题，正好是f(x)的导函数g(x)的“求根”问题。

导函数g(x)的根，就是f(x)的驻点。很清楚，二次函数的驻点，就是二次函数的最点。

问题变得这么明朗：求f(x)的最点，就是求f ′（x）的根，俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了。

(三) 三次函数的驻点，极点和最点

三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：(1)有2个相异的根；(2)有2个相同的根；(3)无根。

如果三次函数 f(x)的导函数f ’(x)无根，则 f(x)无驻点，自然也无最点，也无最值。

如果f ’(x)有根呢？自然f(x)一定有驻点。

那么 ，这些驻点是否为其最点呢?

(四) 极点何时为最点

不重合的两个驻点可以分别成为极点，那么，在什么条件下极点成为最点呢?

驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢?

我们研究，极点何时成为最点。

(五) 最值寻根的导数判定

若定义在一个开区间上的函数y=f(x)有导函数f ’(x)=g(x)存在，那么f(x)是否有最值的问题，可转化为f(x)的导函数g(x)是否有最根的问题来研究：

(1) 若导函数g(x)无根，即g(x)≠ 0，则f(x)无最值 ；

(2) 若导函数g(x)有唯一的根x₀，即f ’ (x₀)=0，则f(x)有最值f(x₀)。此时,导函数f ’(x)的根 x₀即是函数f(x)最根x₀ 。

(3) 若导函数g(x)有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点,最点的存在性。

(六) 最根与高考题

导数应用于高考，一般都在研究函数的单调性和函数最值问题，对可导函数来讲，这兩个问题互相捆绑着，于是导数问题的“根本”，则变成“最根”问题。

(一) 二次函数最值寻根

(三) 三次函数的驻点，极点和最点

一次函数没有驻点，自然没有最点。

二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点。

三次函数呢?三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种:(1)有2个相异的根；(2)有2个相同的根；(3)无根。

如果三次函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)无根，则𝑓(𝑥) 无驻点，自然也无最点，也无最值。

如果𝑓′(𝑥)有根呢?自然𝑓(𝑥)一定有驻点。

那么，这些驻点是否为其最点呢?

(四) 极点何时为最点

不重合的两个驻点可以分别成为极点.那么,在什么条件下极点成为最点呢?驻点是极点的必要不充分条件,那么极点是最点的什么条件呢?我们研究,极点何时成为最点.

(五) 最值寻根的导数判定

(六) 最根与高考题

导数应用于高考,一般都在研究函数的单调性和函数最值问题,对可导函数来讲,这兩个问题互相捆绑着,于是导数问题的"根本",则变成"最根"问题.

退休教师汪跃中先生

【万尔遐简介】湖北省孝感市人，北京师范大学数学系毕业。特级教师，享受国务院政府特殊津贴的教育专家，中国数学会普及教育工作会员。湖北省孝感市文昌中学教学校长，北京师范大学教育科学研究所课改专题研究员。中学任教38年，跟踪高考29年。曾参加全国高考命题工作，是“出活题、考基础、考能力”的倡导者。

【作者简介】汪跃中，湖北省孝感市人，武汉华中师范大学数学系毕业，武汉市教育科学研究院数学科原主任，特级教师，湖北省暨武汉市数学会理事、中数学部委员，武汉市中数学科带头人，武汉市中学数学教学研究会常务副会长兼秘书长。

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