椭圆定长动弦中点“8字型双黄蛋”轨迹方程解法荟萃
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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椭圆定长动弦中点“8字型双黄蛋”
轨迹方程解法荟萃
浙江洪一平 广东杨俊 贵州吴承
天津高达溟 湖北邹生书
湖北省阳新县高级中学 邹生书编辑整理
解法1：巧用向量数量积+方程思想根与系数关系求解 洪一平 提供
综上, 所求的弦的中点的轨迹方程为
x4+8y4+6x2y2-4y2=0。
点评：本解法巧用向量数量积极化恒等式，回避了传统解法中的弦长公式，然后用方程思想一元二次方程根与系数关系求解。对于本题而言，向量极化恒等式应用于中点弦问题是一种创新，是本解法的一个亮点。
解法2：用直线的参数方程求解 高达溟 邹生书 提供
点评：本解法用直线的参数方程求轨迹，不需要对倾斜角分类讨论，避免了用直线方程求解时，要对斜率是否存在进行分类讨论。解法流畅优美，如同行云流水。
解法3：杨俊 提供 邹生书编辑整理
（1）当动弦AB垂直于x轴时，因为椭圆中这样的弦短轴最长且恰好为2，故这样的弦只有一条就是短轴，其中点是坐标原点。
（2）当动弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+b, 将其代入椭圆方程整理得
其轨迹是下图所示的“8字型双黄蛋”。成就这一杰作的幕后推手就是动弦的长度恰好等于椭圆短轴之长。
点评：注意本解法中直线AB方程的两种表示方法在解题中的妙用。斜截式方程和点斜式方程接力使用恰到好处，各自完成应尽的义务和历史使命，在解题中起到了化繁为简的作用，解法给人以和谐统一的美感。
解法4：用二级结论求解 吴承 提供 邹生书编辑整理
弦长公式秘诀：
2倍开根号，小方积，大方和，对方和与单方差，减完单方跑下方。
下面用上述椭圆的弦长公式来解答这个轨迹问题。
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