换元惊现对称式 猜出取等解法多

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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换元惊现对称式      猜出取等解法多

浙江平阳   洪一平      湖南永州  唐 佳

   北京  孙丕训       安徽阜阳   陶兴红

湖北阳新县高级中学      邹生书   编辑整理

思路一：换元转化成新问题求解

且分子是二次单项式而分母是一次多项式，为运算推理方便，将两个分式的分母换元化为单项式，为此

到此，我们发现：换元前所求式子是非对称式，换元后却奇迹般变成了轮换对称式。

猜想：当a=b时式子取得最小值。此时，原式为

即当a=b=1时，取得最小值8。此时，x=1,y=2.

知道了最小值成立的条件，解题就有了明确的方向，下面诸多解法思路都是围绕取等条件展开的，最小值成立的条件就是下面解法中不等式的取等条件。

题目题目，题就是问题，目就是问题的眼晴。对于本题而言，a=b=1就是换元转化后问题的眼晴，x=1,y=2就是原问题的眼晴。我们可以通过眼晴这个窗户寻找解决问题的思路和方法。换元获得对称式，猜出取等解法多。

解法1：换元后用均值不等式求解   洪一平  提供

解法2: 换元后用权方和不等式和均值不等式求解   

唐佳   提供

解法3：换元后多次用均值不等式求解   

孙丕训   提供

解法4：换元后用均值不等式求解  

 孙丕训   提供

思路二：不换元，直接求解

解法5：巧添项妙配凑，用均值不等式求解    

陶兴红   提供

评注：陶老师的解法确实很巧妙，配凑项的系数是怎么想到的？

(1)如果知道了取等条件x=1,y=2,可以这样去思考：当x=1,y=2时，4x²/(y-1)=4,y-1=1，所以在用均值不等式时要使两项相等，就自然要在（y-1）的前面配上系数4.同样，当x=1,y=2时，y²/(2x-1)=4,2x-1=1，所以在用均值不等式时要使两项相等，就自然要在(2x-1)的前面配上系数4.

（2）如果不知道取等条件，我们可以顺着陶老师配凑法和均值不等式的思路，考虑用待系数法来确定配凑项的系数，解法如下：

解法6：待定系数法助力均值不等式

引入正的待定常数m,n,由均值不等式得

解法7：活用均值不等式将分母二项式变成单项式求解    唐 佳   提供

解法8：用偏微分方程求解   唐 佳  提供

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