吴 承——等“差”识得东风面 万紫千红总是春

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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等“差”识得东风面   万紫千红总是春

贵州省铜仁市第八中学  吴 承

《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》的高中数学教学观指出：把握数学教学本质，启发思考，改进教学．众所周知，如果a_n+1=a_n(n€N^*)，那么a_n=a₁，这是一种常数数列，是一种公差为零的等差数列. 另一方面，从等差数列公式出发：由a_n=a₁+(n-1)d，得a_n-[a₁+(n-1)d]=0，于是识得{a_n-[a₁+(n-1)d]}是各项均为零的等差数列．在平时教学中，学生往往识别不了这样的“东风面”，教师往往也由于“教学惯性”，不想把简单的公式a_n=a₁+(n-1)d想成复杂的公式a_n-[a₁+(n-1)d]=0，并且在这个方向研究甚少，于是造就了对2020年全国高考3卷理科数学第17题的“万紫千红总是春”的感慨．

例1（2020高考数学全国3卷，理17）

设数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=3a_n-4n．

（1）计算a₂,a_3，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

第二问考查常见的错位相减法；下面以第一问为研究对象：

解：（1）由题，a₂=5,a₃=7；于是猜想：a_n=2n+1.下面证明：

由a_n+1=3a_n-4n，可得：a_n+1-[2(n+1)+1]=3[a_n-(2n+1);

(这一步怎么来的？如果学生觉得“构造法”、“待定系数法”都显得高大上，在对“数学归纳法”没有印象的情况下，其实只要把简单的公式a_n=a₁+(n-1)d想成复杂的公式a_n-[a₁+(n-1)d]=0，而多出来的系数3，则可以“名正言顺”地借助“迭代法”进行消化，同时还要防止掉进“等比数列”的陷阱中，从本质上讲就是：0=3•0）

【评析】对等差数列通项公式进行了深度思考，较好地考查了逻辑推理、数学运算等素养．

我们可以历史地识别“迭代法”

六年前，那时候没有全国3卷，2卷是主要阵地（贵州省是这样的），我们不难找到这个题的一个结构高度相似的题，尽管换汤换碗又换药，但是在证明过程中也能发现“迭代法”这一味药！

例2（2014年高考数学全国2卷，理17）

【评析】运用迭代法，可以解决求通项公式及放缩问题．

我们可以历史地识别“构造常数数列”

邹生书老师在2009年发过一篇文章《构造常数数列巧求数列通项》，文章提到六年前的六年前（2008年）天津高考题用到了“构造常数数列”，解法十分精妙！时隔十年，在2019年邹老师又以公众号形式分享出来，现摘其精要简述如下：

例3（2008年高考数学天津卷）

【评析】构造常数数列，有时可以巧妙解决求通项问题．

    启发思考，改进教学永远在路上！很多时候，我们一味地寻求秒杀法、简解法，也是一柄双刃剑！我们把简单的公式变复杂一点，不一定都是坏事，相反还是一种“因祸得福”的做法.我们要教学生学会融汇贯通，但教师自身也需要变则思通啊！（2020.7.21）

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