邹生书——函数图像凹凸反转经典问题及其在解题中的应用
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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函数图像凹凸反转经典问题及其在
解题中的应用
湖北省阳新县高级中学 邹生书
数形结合思想是重要的数学思想之一，函数图像凹凸反转是一种运用数形结合思想解题的方法，是一种较为特殊的方法，具体是指利用两个函数图像的凹凸反转，来解决两个函数图像的交点个数问题，或将一个函数的零点个数等问题转化为两个个函数图像的凹凸反转问题来解决。
首先，我们来看一个不需要转化的可直接利用函数图像凹凸反转解题的例子，再来看两个具有挑战性的例子，后面两个例子需要通过变形函数分离，将一个函数的零点个数问题或不等式的证明问题，转化为两个函数图像凹凸反转来解决，从中体验函数图像凹凸反转经典问题及其在解题中的应用。
分析：这是一道选择题，我们选择验证淘汰法间接求解，小题小做。根据四个选项提供的信息，实数a可考虑取特殊值e和2e.
解法2：取a=2e，可知两函数图像有两个公共点，故选C.（过程与解法1基本相同，略）
点评：1.函数f(x)=xex与y=e(1+2lnx/x)的图像分别在公切线y=2ex-e的两侧，一个向上凹一个向下凸，背道而驰，这就是所谓的凹凸反转。2.当a>0时，g(x)=a(1+2lnx/x)与y=e(1+2lnx/x)的图像延y轴作伸缩变换，数形结合，动静结合，从图像的伸缩变换很容易求出参数的取值范围。
上面的例子是较为明显的可以用凹凸反转解答的问题，下面的两个题目没这这么直接，需要变形转化，化归为两个函数然后用函数图像的凹凸反转来解决。
容易证明这两个函数的图像在公共点(0,2)处有相同的切线y=x+2。由图像知两函数的图像分别在公切线的上方和下方，背靠背向上向下凹凸反转。
说明：本解法根据广东深圳杨俊老师在高中数学解题交流群里提供的解法编辑整理而成。
评注：函数g(x)=lnx+1/x与h(x)=2x/ex的图象如图所示，有了这个图象解法一目了然。其中曲线y=g(x)与直线x=1相切且在直线x=1的上方，曲线y=h(x) 在直线x=1的下方。这个题目属于凹凸反转问题的特殊情形，解法关键是变形转化，巧设函数，一分为二，楚河汉界，凹凸反转。
参考文献：
潘越：做一题、归一类、得一法（五）——巧转化，分两边，凹凸反转看零点
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