一道与阿氏圆有关的最大值试题的七种解法

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公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一道与阿氏圆有关的最大值试题

的七种解法

广东 杨俊      陕西  魏拴文 

 河北唐山   齐建民    湖南郴州  袁旭华 

   湖南永州  唐 佳       提供解法

湖北省阳新县高级中学      邹生书  编辑整理

解法1：换元后转化为二次函数求最值   杨 俊  提供

解法3  余弦定理+二次函数求最值  魏拴文  提供

如图，设∠ONP=θ,连接OP.

在△PMN中，由余弦定理得，

PM²=NM²+NP²-2NM•NPcosθ,

即PM²=9+NP²-6NPcosθ     ①

在△PON中，由余弦定理得，

OP²=NO²+NP²-2NO•NPcosθ,

即1=4+NP²-4NPcosθ,

得NPcosθ= 1/4NP²=9+3/4

代入①式整理得

PM²=9/2-1/2NP²,

所以PM²+PN=1/2PN²+PN+9/2

=-1/2(PN-1)²+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。

故PM²+PN的最大值为5.

解法4  勾股定理+三角形中线公式求解  齐建民  提供

因为MA为圆的直径，所以∠APM=90°，

所以PM²=MA²-PA²=4-PA^2,  ①

又PA是△PNO的中线，由三角形中线长公式得

PN²+PO²=2(PA²+OA²),

则PN² =2PA²+1   ②

①×2+②得，2PM²+PN²=9,

所以PM²=9/2-1/2NP²,

所以PM²+PN=1/2PN²+PN+9/2

=-1/2(PN-1)²+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。

故PM²+PN的最大值为5.

解法5  阿氏圆定义+三角形中线公式求解  袁旭华  提供

如图，连接PO,PA,取OA中点Q，连接PQ.

依题意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圆的直径，

由阿氏圆的定义得PN=2PQ.

在△PAO中，因为PQ是中线，

所以由三角形中线长公式得

PA²+PO²=2(PQ²+OQ²),

则PA² =2PQ²-1/2,  

因为MA为圆的直径，所以∠APM=90°，

所以PM²=MA²-PA²=4-PA^2,

所以PM²+PN=PM²+2PQ

=-2PQ²+2PQ+9/2

=-2(PQ-1/2)²+5≤5,

因为1=AN≤PN≤MN=3, PN=2PQ，

所以1/2≤PQ≤3/2,

所以当PQ=1/2时，等号成立。

故PM²+PN的最大值为5.

解法6  阿氏圆+外角平分线长求解  唐佳  提供

如图，连接PO,PA,取OA中点Q，连接PQ.

依题意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圆的直径，

由阿氏圆的定义知PM是△PNQ的外角平分线，

由外角平分线长定理得

PM²=MQ•MN-PN•PQ=9/2-1/2NP²,

所以PM²+PN=1/2PN²+PN+9/2

=-1/2(PN-1)²+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。

故PM²+PN的最大值为5.

解法7  用斯特瓦尔特（Stewart）定理一步到位求解 唐佳  提供

斯特瓦尔特（Stewart）定理：

设D是△ABC底边上BC一点，则有

AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=DC·DB·BC。

斯特瓦尔特（Stewart）定理，常见的用于得到线段倍份关系、用于求解三角形问题。

如图，连接PO。在△PMN中，用斯特瓦尔特（Stewart）定理得

PM²·ON+PN²·OM-PO²·MN=OM·ON·MN,

即2PM²+PN²-3=6,

所以PM²=9/2-1/2NP²,

所以PM²+PN=1/2PN²+PN+9/2

=-1/2(PN-1)²+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。

故PM²+PN的最大值为5.

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