归瑞青——设而不求与整体代换的数学美赏析
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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设而不求与整体代换的数学美赏析
江苏省常熟中学215500 归瑞青
解析几何中设而不求、整体代换时，通常是将点的坐标代入表达式后整体代换，或使用韦达定理出现两根的和与积，再整体代换。以下通过两例展现另一种整体代换的方法，颇具美感。
点评：
(1)本题较难，常规运算很复杂，极少有同学能够计算彻底。
(2)由向量共线得分式①②，将其进行加减运算，得③④，结合假设定点N与P,Q共线方程，利用点P,Q在圆上，将⑥⑦相加减，为了将问题看清，重新整体换元，得最后方程组，再相除得结果。
(3)本题中分式加减后构造元素进行整体消元的方法，计算量小，形式优美。
(4)数学美有简洁美、对称美、和谐美、奇异美等，本题的解法中都有体现。
点评：
(1)本题是椭圆中的中档难度题，改作其他方法作答也可得。
(2)使用分式①②相乘后即得可以整体换元的方程。求解过程计算量小，形式优美。
练习：
评注：
1.本题具有美感，以上解法保留了题目特色，体现了整体代换的思想，技巧性强，难度大。
2.如果“由③④⑤⑥解”有难度，补充：
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