张鹤：如何学好数学
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2015年的暑假，我在南京参加一个教育部组织的学术会议。这个会议不仅邀请了、大学教授、中学教师、教研员，还请了学生家长，共同探讨八年级数学的教学及评价问题。在一次分组讨论的时候，一个家长代表、显得很干练的女士的发言引起了我的关注：这位家长说，她自己在上学的时候，数学学的非常好，但是她感觉现在自己孩子学的数学知识太多，她对此有点困惑。她说我学的数学再好，工作上也没用上什么呀？为什么要学习这么多的数学呢？
为什么学数学？数学学习的价值是什么呢？这个问题看似简单，但不是所有人都能说清楚的。
学数学的价值是什么
听完这位家长的发言，我问道：您是做什么工作的呢？为什么说数学对您的工作没有起到作用呢？她告诉我，她是一名法官，中学的数学知识都没用上。我笑着说，中学学到的知识在您的工作中的确没有用上，如三角形内角和定理，勾股定理等，还有在学平面几何证明了那么多的题目，这些知识也许都忘记了，也的确不会影响您的工作。但是，您作为一名法官，一定是具有严谨的逻辑思维能力，这种思维能力又是从哪里得到的呢？这不正是由于你数学学得好的结果吗？这位女法官被我的一习话点通了，不得不承认我说的有道理。可以看出，数学这门学科对人的影响是潜移默化的。有的时候让人都没有察觉。
还是在2015年的秋季，我到一所学校参加这里的数学教师的教研活动，在活动的最后阶段，这所学校的一位女副校长做总结，她的发言条理性非常强。我因为和她比较熟悉，知道她是外语教师出身，轮到我点评这次活动的时候，我就开玩笑地说，刚才您的总结逻辑性这么强，可真不像英语老师呀。她笑着回答我说，她上学的时候是数学科代表，还参加过数学竞赛得过奖呢！
这位副校长把自己较强的逻辑思维能力很自然地归功于当初的数学学习，不能不说数学对一个人思维的影响是多么的长远。
我们的学生是不是也能够认识到数学学习的价值呢？
有一次，我去一所学校给新高一的学生上一节数学方法的指导课，我在上课前就向全体学生提出了一个问题：我们为什么要学习数学呢？一个男同学的发言给我留下了深刻的印象，他非常干脆地说:学数学的目的是为了培养我们的逻辑思维能力。这个回答太完美了!
可以说，在中学，学习数学的最大价值，在于培养学生的逻辑思维能力。数学知识仅仅是数学学习的载体，我们的学生要通过知识的学习，最终得到的是逻辑思维水平的提高。
为什么有的孩子学不好数学
不知大家有没有看过这个故事：
我们都知道袁隆平院士、杂交水稻之父。
他在一次电视访谈节目中，谈到了他学习数学的一段往事:他开玩笑似的和女主持人说：他最后悔的一件事就是小时候数学没有学好!这怎么可能呢？女主持人诧异地问：“像你这么著名的科学家，数学怎么会学不好？”
其实袁隆平院士是通过他小时候学数学的经历，在讲一个道理。
原来他在上初中的时候，有一次上课学“正负数运算”，他的数学老师讲“负乘负得正”。他想不明白为什么。他说正数乘正数得正数，好理解，为什么负数乘负数也得正数呢？
他就去问数学老师，但是他的数学老师也没有把“负负得正”讲明白，让他记住会做题就行了。袁隆平院士说，从此他对数学就不感兴趣了，数学也就没有学好了。
其实故事听到这里，我们是不是也就知道了，袁隆平院士后来为什么在水稻种植上做出了那么大的成就了吧？他从小就非常喜欢独立思考问题，喜欢爱刨根问底，不轻易接受一个结论，这是一个学生学习知识时最宝贵的素质。
这个故事也从另外一个侧面告诉我们:任何学生都是不喜欢死记硬背结论的，他们都是有强烈的求知欲的，这种对数学知识背后的道理的追问，正是孩子喜欢学习这门学科的最大的动力。
作为老师的我们，就要在课堂上，给学生参与思维活动的机会，让学生在解决数学问题的思维活动中学习数学；同样，作为家长，不要把每次的考试分数看得太重，而是应该关注您的孩子是不是对思考数学问题有兴趣。比如：您的孩子在学数学时，你可以观察他，看看他自己能不能提出一些问题，有没有想不明白的问题。您也可以尝试用您对数学知识的理解，用浅显易懂的方式和您的孩子去交流。
比如：如何解释“负负得正”呢？如果是您的孩子问您，您如何回答呢？
北京航空大学的李尚志教授在一次讲座中，他是这样来解释的：“一个人站在你面前，如果面对你为正，向后转为负，从面对你开始连续后转两次，就又面对你了”。李教授就用这样一个形象的比喻，把负负得正解释清楚了。
想当年如果袁隆平院士能够听到这样的解释，也许他会喜欢上数学，没准一不留神，会成为一名在数学领域有成就的数学家呢。我们在和自己的孩子交流的时候，也经常可以向他提出一些问题，看看他是不是对所学的知识有深入的思考。
比如您可以问问，为什么5+7=12呢？如果您的孩子解释不出来，没关系，让他把这个问题留下来，好好思考，也可以去翻翻书。实际上道理很简单，要解释5+7=12，首先要解释5和7是什么？他们之间是什么关系？5和7都是自然数，它们的存在是由于1是单位量，5是5个1，7是7个1，由于有共同的单位量，它们就可以运算了。所以5+7是12个1，所以才有5+7=12。
我们常说一生二、二生三，进而生成事物的全部，或者说生成万物，那么一就是事物的起点和事物演变的起点；同样数学也反映了这个基本规律，这种规律实际上就是我们所说的公理化思想的体现。我们的孩子在学习数学的时候，如果能够学会提出问题、能独立思考数学问题，他也就会觉得，学习数学是挺有意思的一件事情了。
怎样才能学好数学
那么，如何学好数学呢？
要学好数学，首先要做到：“想明白、说清楚”。
什么叫想明白呢？袁隆平院士不就是对“负负得正”想不明白，才不喜欢学习数学的吗？想明白，就是指动脑筋，要思考。如果一个学生在做数学题的时候，连题目说的是什么都不清楚，就匆匆忙忙去做题，怎么可能把问题解决出来呢？
说清楚，就是要能够用自己的语言把自己对数学问题的理解表达出来，这种表达是对学生数学思维的最好的训练。只有想明白的学生，才能够说清楚，说不清楚的，一定是还没有想明白。
我们的孩子在解决问题之前是不是真正地看懂了问题呢？作为家长，其实可以让孩子给你讲一讲。
把刚学过的数学定理或数学公式的含义、推导方法讲给你；
把他刚学过的数学概念说一说……
您把自己放在一个学生的位置，让您的孩子教教您。
你在听的过程中就可以通过他是否“说清楚”了来评价他是否“想明白”了。
我儿子是2008年参加高考的，在高考前的最后阶段，我问他数学复习还有没有问题？他告诉我，解析几何的综合题还没有太大的把握。我就和他约定，每天放学后到我的办公室， 一起来讨论问题。每次他来我的办公室，我都是给他准备一道解析几何的综合题，让他先做，然后让他给我讲他的思路，如果我听明白了，就过了；如果他讲不清楚，甚至做不出来，我们就一起分析、讨论，直至做出这个题目。在这个过程中，我始终没有直接告诉他解决问题的方法，而是启发他自己找到方法。经过这样近一个月的讨论，就到了高考的日子了。2008年北京卷数学理科的19题，也就是解析几何的那道综合题，他做得很顺利，出了考场儿子告诉我，只花了10分钟就做完了，而且自信一定做对了。
作为家长，要能够帮助我们的孩子想明白，说清楚。让我们的孩子都喜欢思考问题，都喜欢研究问题，那么，他们就一定能够从数学的学习中享受到思维的快乐。
这里还有一个问题需要澄清：
做题越多，数学的能力越强吗？
我们经常会看到这样的情景：每当数学考试成绩不太理想的时候，家长就常常怪自己的孩子做数学题目太少，似乎做题目的数量多少和解题的能力的强弱有着直接的关系。
我曾经问过学生，解题方法是多好还是少好？很多学生认为：解题越多，见的套路就越多，方法也就越多，这样解题的能力就越会强了。
正是由于很多的学生包括家长是这样理解的，为了学好数学，很多学生花了大量的时间在做数学题，希望能够以此来提高数学成绩。
这种认识和做法，有点像竞技体育的运动员的训练。2017年世界兵乓球锦标赛上，中国队再次取得了优异的成绩。在比赛转播时，评论席上的评论员在谈到运动员的训练时说，为了取得好成绩，兵乓球远动员每天都要进行大运动量的训练，对手打过来的球如果思考对策后再打回过去就来不及了，要训练到凭感觉把球打回去。这是竞技体育的特点，大运动量、高强度的训练的确可以提高比赛成绩。
但数学学习不是这样的，学数学是要学会数学的思维方法，而思维是离不开人的思维活动的。盲目做题、套用方法做题，都不是好的学习数学的方法，因为这样的学习，看似很勤奋，但是没有思维的投入，就是没有学到点上。
题目的确要多做，但是要清楚，通过做数学题目，要学会理解数学问题；找到解决数学问题的一般方法。当你做了10道、20道题目之后，就要想一想，这些问题的解决，有没有共同的方法？只要找到了解决数学问题的一般方法，再做题目，就是要验证这个方法，是不是还能用？
数学问题的形式可以是多种多样的，但是研究数学对象的性质的方法是一致的，从这个意义来说，解决数学问题的方法是越少越好。
作为家长，我们不能仅满足于孩子做了很多的数学题，而是更应该关注，您的孩子通过做数学题，是否找到了解决数学问题的一般方法。
张鹤，海淀区教师进修学校数学教研员，北京市数学特级教师，正高级教师。普通高中课程标准实验教科书编委会的成员。曾授予苏步青数学教育奖（二等奖）。中国教育学会中学数学教学专业委员会第七届理事会理事。2017年当选北京市学习科学学会数学学科专业委员会副主任委员。
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