高中数学课堂实录：对数新授课（附视频）

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对数函数是重要的函数，自然也是高考的知识点，学习对数函数常会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，归纳起来主要有三个方面。

难点1 底数不统一

对数的运算性质是建立在底数相同的基础上的，但实际问题中，却经常要遇到底数不相同的情况，碰到这种情形，该如何来突破呢？主要有三种处理的方法：

（1）化为指数式

对数函数与指数函数互为反函数，它们之间有着密切的关系：log_aN=ba^b=N，因此在处理有关对数问题时，经常将对数式化为指数式来帮助解决。

（2）利用换底公式统一底数

换底公式可以将底数不同的对数通过换底把底数统一起来，然后再利用同底对数相关的性质求解。

（3）利用函数图象

函数图象可以将函数的有关性质直观地显现出来，当对数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象直观性来理解和寻求解题的思路。

例1. 若a≠1，b≠1，a＞0，b＞0，且满足关系式log_a2=，求a，b的值。

分析：已知关系式中的底数不相同，因此可设log_a2==m，转化为指数来来解决

解：设log_a2==m，则

。

于是有  ，

因为   a^m＞0,

所以       ，

于是       log_a2=log_b3=－１，

解得       。

例2. 设log₂3=a，log₃7=b，求log₄₂56的值。

分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以首先应考虑统一底数，从条件看应该把底数统一为3。

解：由log₂3=a，可得

，

所以

。

例3. 若log_a2＜log_b2＜0，则a，b满足的关系是（      ）

（A）1＜a＜b

（B）1＜b＜a

（C）0＜a＜b＜1

（D）0＜b＜a＜1

分析：两个对数式底数不同，但真数相同，把两个对数式看作是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析。

解：log_a2，log_b2可以看成是对数函数y= log_ax，y= log_bx在x=2时的两个函数值，可得大致图象（如图）。显然，a，b均小于1，

根据对数函数的底数和图象的关系可得0＜b＜a＜1，故选（D）。

难点2. 真数是和差的形式

利用对数的运算性质可将运算级别较高的运算降底为级别较低的运算，而和与差是运算中的最低级别，所以在处理真数是和差形式的对数问题时，难度较大，主要有两种处理方法：①整体考虑；②对真数因式分解。

例4. 求满足等式

的x的值。

分析：所给等式出现了对数之和的同时，又出现了一项含有x但又不带对数符号的项，因此直接运用对数的运算法则及相关的性质无法运算，但两个带有对数符号的项的结构相似，因此解答此题要从结构上整体考虑。

解：由，

得，

所以  

     ，

令f(x)=

f(2x)=，

于是有   f(x)=－f(2x)，

易证  f(x)是R的减函数，又是奇函数，

故由f(x)=f(－2x)，可得

x=－2x，x=0。

难点3 对数与对数相乘

两对数相乘无法利用对数的运算性质求解，因此在解决此类问题时，要根据所给的关系式认真分析其结构特点，主要有三种处理方法：①利用换底公式；②整体考虑；③化各对数为和差的形式。

例5. 设log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m=log₃27，求m的值。

分析：已知等式是七个对数之积，其特点是：从第二个对数开始的每一个对数的底数是前一个对数的真数，真数是后一个对数的底数，因此采用换底公式将各对数换成以2为底的两个对数的商，然后约分可达到目的。

解：由已知条件得

log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m

=log₂3·

=log₂m=log₃27=3

所以m=8。

例6. 计算：（lg2）²lg250+(lg5)²lg40。

分析：对数的乘积，无法直接运用对数性质，可以将对数lg250，lg40的真数分解为积的形式，进而将对数转化为和差的形式。

解：原式

=（lg2）²lg(5²×10)+（lg5）²lg(2²×10)

=(lg2)²(2lg5+1)+(lg5)²(2lg2+1)

=(lg2)²+2lg2(lg5)²+2lg5(lg2)²+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5(lg5+lg2)+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5+(lg5)²

=(lg2+lg5)²=(lg10)²=1。

数学很容易被人误会成一门没有人情味的、冰冷的，只存在于数字世界的学问。但它实际上是一-门动人心弦的、充满激情的学系。

数学并不仅仅追求实用性。数学家们与金钱、地位无缘，仅仅是为了追求真理而踏入数学的世界。而他们的追求，在结果上却造福了无数的世人。比如说，法国数学家皮埃尔.德，费马提出的“费马大定理”，这是一个关于整数的著名定理。经过大约360年的岁月，费马大定理终于在1994年被英国数学家安德鲁.怀尔斯(1953--)所证明。而在人们摸索证明的过程中诞生的数学发现，被应用于密码技术之中，而密码技术正是互联网技术不可或缺的一部分。 如果没有密码技术，互联网想必不会如此发达。所有信息都暴露在光天化日之下的通信方式，是派不上任何用场的。就像这样，数学从结果上来讲能够为人类提供帮助，有时甚至还能拯救人的生命。对数，就是这样一个绝佳的例子。

对数背后的故事

对数的发现

刚刚接触到对数的同学都会产生相似的感叹：“学习这么麻烦古怪的计算到底有什么用？买菜用的上？

那是因为同学们只是看到了对数独特的运算法则和大量的公式，却不知道“对数的发明甚至早于指数和函数，是为了让天文学家的计算更加简便，同时也是为了帮助在航行中备受折磨的船员们。”

对数长期以来在数学界应用率颇高。我们之所以能够受益于科技发展，建立起极为发达的文明社会，也是托了对数的福。

很少有人知道，纳皮尔曾经冒着生命危险追求对数的真理。其实，有很多日本人一-听到“对数”两个字就头皮发麻。光是看到“log”这个符号，恐怕就会有人表示我就是因为你才讨厌数学的”。但是，对数可以说是一个爱的结晶。在对数被发现的背后，隐藏着一个男人的伟大史诗。他为了拯救世人的生命，独自一人勇闯黑暗的数学世界。

约翰.纳皮尔于1550年诞生于这个世上，他生于苏格兰首都爱丁堡西南方的梅奇斯顿城内。他生来就是要成为梅奇斯顿城第八代领主的人。

随着年龄的增长，纳皮尔开始展现出非凡的才华。他13岁时已经进入大学学习宗教学。身为城主之子，他还统领起当地的居民，用充满个人色彩的奇思妙想解决了各种各样的难题。

譬如，有农民希望“让土地增收”，纳皮尔就采用新型肥料，还发明了抽水机，在农业、土木工程的技术开发方面也有所建树。

有一次，纳皮尔听农民反映“有来路不明的怪物啃坏了农田”，就发明了一种大炮，能够将周长4英里(约为6.4千米)的田地中超过1英尺(约0.3米)高的生物全部消灭。

在煤矿工作的矿工反映“矿里涌出了地下水，我们没法继续工作”，纳皮尔就发明了能够将矿坑内的积水排出，控制矿坑内水位高度的螺旋推进器。早在16世纪，他就发明了能在水中转动螺旋翼的技术!

用现在的话来说，纳皮尔算是一一个发明家。不仅如此，他还是一名为了帮助他人而施展才华的优秀工程师。

纳皮尔还开发了包括潜水艇、战车在内的许多武器，这些想来也是为了让领地内的人民感到安全放心而发明的。

那时的欧洲，处于一个战乱的年代。苏格兰人民十分畏惧当时全欧洲最强的国家一西班牙会从海上侵略自己。

向神秘莫测的计算世界进发

当时的欧洲正处于战乱年代，同时也正处于大航海时代的高潮。欧洲资源贫瘠，想要发展，只能前往新的大陆寻找资源。西班牙等列强利用当时最先进的技术，建造了大型船舰，竞相在世界各大洋中开辟新航路，争夺霸权。

各个大国想要寻找的是印度。当年，印度拥有许多欧洲人喜爱的产品作物。哥伦布受命于西班牙女王，出海远行，最终能够发现美洲大陆，也是因为想从西方开辟一条通往印度的航路。纳皮尔想必也经常听人提及航海的话题吧。

在当时的背景下，航海天文历和海难也是各个天文台最热门的话题。所谓“航海天文历”，指的是预测天体运行的历法。在当今社会每年也都会发行新版，但在过去那个没有计算器的年代，需要大量运算做支撑的航海天文历是很不精准的。

因为航海天文历准确性过低，出海远航的船员们往往会束手无策。他们需要观测出准确的时间及天体位置，并同航海天文历进行对照，从而得出自己当前所处的大概位置。如果航海天文历不准确，他们就会判断失误，驶向错误的方向。这在当时就意味着必将遇难，也就是死亡。

请你闭上眼睛，简单想象一下。

现在，你行驶在一片漆黑的太平洋的正中央，原本10天之前就应该抵达目的地了，然而一一天又-一天过去， 你却一直看不到陆地的影子 。

这天晚上，你幸运地看到了星星。

你拿出了六分仪(用来测量角度的仪器)，把星的位置翻来覆去地测量了好几遍，又看了看表，记录了现在的时间。没有问题。于是你把这些数据拿去和航海天文历一一对照，为了避免出错，你还多算了几次。

然而，尽管你是如此的谨慎细致，到了第二天早上，你还是没有看到本应早就抵达的陆地。你能看见的只有远方无尽的海平面....就这样，你在漫无尽头的汪洋中国泊着，最终，船员们一个接一一个地葬身鱼腹。

在发明对数之前，纳皮尔一直在研究“球面三角学”

在类似于地球这样的球体表面出现的三角形被称为球面三角形。球面上连接两点的最短曲线被看作是直线。由这样的直线形成的三角形就是球面三角形。研究其“边长”“角度”关系的学系就是球面三角学。

在大航海时代想要远洋航海，就需要计算出发地和目的地之间的距离，也就是说需要计算所谓的球面弧长。

纳皮尔在研究过程中，建立了“纳皮尔比拟式”和“纳皮尔圆部法则”。

球面三角学的计算中，会出现天文学的相关计算。而大家都很熟悉正弦(sin) 函数、余弦(cos)函数等的三角函数，它们彼此间的相乘运算是非常复杂的。

我们来做一道例题：

天文学家们需要准确的航海天文历。然而，编写天体运行历法的每一一个过程，都需要计算。想要预测天体的运动，就必须要计算真正意义上的“天文级数字”。而且每年都必须重新计算一次。

天文学家们纷纷哀号:“这是不可能完成的任务!”

当纳皮尔发现天文学家面对庞大的计算量袖手旁观时，肯定非常义愤填膺吧，他一定会想:“难道真的没有办法了吗?”同时，他恐怕还想象过命丧汪洋的船员们的痛苦挣扎，因而感到万分焦虑吧。

最后，他终于选择挺身而出。

“好，那就由我来让航海天文历的计算变得更简单。”

这时，纳皮尔已经44岁了。400年以前，44岁已经算是步入人生的晚年了。他在这个随时都有可能离开人世的年纪，选择踏上前往神秘计算世界的旅途，并且还是孤身一人。仅这一点，已经足够震撼人心了。

使用对数，能够将乘法运算转换为加法运算

在此，我将对对数进行简单的说明。所谓对数，是运算上的一种转换系统，是能够把乘法运算转换为加法运算，将除法运算转换为减法运算的方法。

举一个简单的例子。

“1000X 100”的结果在草稿纸上就能算出来，同时，我们也可以通过将“1000” 和“100”的“0”相加，得出答案为“100000”。

也就是说，把“1000”看作是“10”的三次方，把“100”看作是“10”的平方，将三次方和平方的3与2相加即可得出答案。

纳皮尔注意到了这一数字法则，总结出了对数的概念。

在此，希望大家注意的，是“乘法运算转变为加法运算”这一点。计算“1000X 100”的话，使用乘法运算确实会更快，但如果数字位数较大、需要手动计算时，使用加法运算明显会更加简单。

如果，按照将100看作2、将1000看作3的思路，将各种数字转换为其他数字，并制作出一览表的话， 就能够将乘法运算转换为加法运算，使得计算变得更为简单。

纳皮尔想要做的，简单而言，就是制作出能够将乘法运算转换为加法运算的机制(算法)。

这不就是指数运算的法则吗?

即是说，按照指数运算的法则来思考的话

如此，则可导出正解。

然而，在纳皮尔时代并没有指数(书写在数字右上角的小数字)这样一种书写方式， 指数的概念也很不明确。

纳皮尔的伟大之处也正在于此。纳皮尔在没有指数这一概念的情况下发现了对数，并将其归纳为一个体系。翻开课本，对数是在学习指数之后才会学习的知识点。

恐怕，对数学稍加深入了解的人都会对此感到惊讶不已吧。

为什么他能够在不了解指数概念的情况下就发现了对数呢？

对数将天文学家的寿命延长了一倍

纳皮尔花了20年时间做出了纳皮尔对数表，其中大部分时间都用在了计算对数表上，可见这是牺牲自己的头发来保护别人的头发啊！他以为自己仅仅是加快了别人的计算速度，却没有意识到他第一次提出了对数的概念。

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