好文荐读：数学的关键是思想（建议收藏）

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高等数学、线性代数、概率与数理统计、几何学这些知识和能力可以用来干什么？主要应用有哪些？

应该会有很多同学在开始学习数学分析和高等数学时，表现出这般那般的不爽无奈，露出一副“我了个去，这也要证明？！”的模样。但就我们所知的情况来看，其实大多数人所用的教材，从大众角度看还没有到一种极致精确的架构数学的程度。大多数的教材所做的还是“我教会你怎么弄这个东西就行了，别怨我了啊乖”的活。

但是，Zorich和Tarence Tao不约而同的花了大量笔墨去阐述人们如何建立起实数体系，Tao 甚至从自然数开始讨论问题，一次又一次的重构了减法，除法，极限，细致至极，在这个过程中，出现了非常多的经典的证明题，关于这样的题目，有一个词语可以显示他们的价值“基石”。以及，他们都在后面的篇章开始讨论了度量空间和拓扑的相关内容，所谓大师所见略同，大致如此。

那么，为什么呢？

1、数系，从头说起

柯朗尼克有句名言:“上帝创造了自然数,其他一切都是人造的。”这样的说法可能有些偏激，但的确说明了问题。

我们有了0，1，我们懂得不断累加，于是自然数出现了。没错，这个时候我们只会加法，但其实我们懂得更多，比如：数学归纳法。利用这个归纳法可以得出几乎所有自然数的代数法则，以及不少漂亮的结论，比如：构造出序的概念（比较大小，注意不要忘了，此时我们只有自然数和加法，我们不知道怎么比较大小，这一点非常关键：如果你想要看到本质，你必须把一切全部抛弃，然后要做的就是至繁归于至简，这似乎类似于张无忌学太极功的故事。），这个证明是非常琐碎的，但本质上他只需要归纳法和加法法则的定义。

通过加法，我们自然的考虑相反的情形（注意，这样的试探性思考非常关键），于是“学会”了减法，从而自然的得到了负整数。而不断的累加同一个数的过程中，我们学会了乘除法。有了除法，我们就可以构造出有理数了。（关键词，构造）

有理数有一个好的性质，稠密。就是说有理数的可数可以通过不断取两个有理数的中点，（a+b）/2的过程去得到无穷多个有理数。

But incomplete！（嗯，语气可参考《A beautiful mind》里Nash发现均衡理论时那两句incomplete~）几千年前就有毕达哥拉斯学派的人发现了根号2，到现在，根号2不是有理数的证明依然出现在各类数学分析的习题中（运用反证法即可）。

对于实数的构造是个困难的事情。也是数学系的学生学习数学分析的一个重点，但在此不多阐述。必须说明的是，实数体系的架构可以非常好的说明数学家的工作模式，怎么选择公理（这在集合论上体现的非常明显，在对概括公理（axiom comprehension）抛弃上。），建立定理。当然其实我们还有个初等的例子可以说明公理化体系的构建过程：欧几里德几何。

一个小插曲，我们学了12年的中小学数学，学到过证明的方法，提到过反证法和数学归纳法，可显然在中小学数学中这两个方法基本上不会考查，用这两个方法基本只会令问题变复杂。

然而这两种方法是极为重要的，并且被广泛运用的。这在实数理论架构时体现明显，闭区间套定理，有限覆盖定理，极限点定理都不同程度的运用了反证法。而数学归纳法普遍运用于自然数和整数的一些证明，比如运算法则的架构上。

而很多好的证明也涉及这两种证明，比如“质数有无穷多个”的证明就是一个非常古典和经典的反证法证明，然而我猜，大多数人在接受中小学教育时并不知晓这个十分初等的问题和证明（来自欧几里德），这个证明本身是让人眼前一亮的。那么为什么我们的中小学数学教育会错重点，把这么重要的问题忽略掉呢？

原因很简单，出证明题批起来麻烦。。。而且学会一个又一个证明，对于考试是无用的：考试所用的试题必然是标准化规范化的，然而每个有趣的命题的证明往往具有其特殊性，这显然是不利的。

然而考试是必然存在的，美国小学也考试，为什么他们的学生的数学修养要高于我们呢？这是个深刻而广泛的问题，但一个显然的原因，我们在考试上放了太多的精力，以致于无法分心去欣赏一些美妙的数学证明了。私以为，这些方面的差异是导致我们国民逻辑思维能力较弱，以致于常常媒体上出现各种因果混乱，神逻辑的状况。

2、群、度量与拓扑，没错，我们很一般

前面说到，Zorich和Tarence Tao不约而同的在他们各自的数学分析著作里提到了度量空间，拓扑，群论。

而会有同学甚至觉得数学无所谓学与不学。

毫无疑问，数学在科研中至关重要。可以见到下列文字：

数学的领域在扩大。

哲学的地盘在缩小。

哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对象。那时，它是包罗万象的，数学只不过是算术和几何而已。

17世纪，自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”。这个时候，数学扩大了自己的领域，它开始研究运动与变化。

今天，数学在向一切学科渗透，它的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式。可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析，把问题缩小到“人能说出些什么”。

哲学应当是人类认识世界的先导，哲学关心的首先应当是科学的未知领域。

哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。

一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时，哲学沉默了。它倾听科学的发现，准备提出新的问题。

哲学，在某种意义上是望远镜。当旅行者到达一个地方时，他不再用望远镜观察这个地方了，而是把它用于观察前方。

数学则相反，它是最容易进入成熟的科学，获得了足够丰富事实的科学，能够提出规律性的假设的科学。它好像是显微镜，只有把对象拿到手中，甚至切成薄片，经过处理，才能用显微镜观察它。

哲学从一门学科退出，意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科，甚至控制一门学科，意味着这门学科达到成熟的阶段。

哲学的地盘缩小，数学的领域扩大，这是科学发展的结果，是人类智慧的胜利。

但是，宇宙的奥秘无穷。向前看，望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现，而在它们出现之前，哲学有许多事可做。面对着浩渺的宇宙，面对着人类的种种困难问题，哲学已经放弃的和数学已经占领的，都不过是沧海一粟。

哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但是它可以从事任何具体学科无法完成的工作，它为学科的诞生准备条件。

数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作，但是它离开具体学科之后无法作出贡献。它必须利用具体学科为它创造条件。

模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜。

——《数学与哲学》

嗯，就是这样。

说回正题。关于群论的话题可以参看《无法解出的方程:天才与对称》，这是由天才的数学家伽罗华架构的理论体系。它所研究的是一系列的变换。而群论出来时，当时的理论数学家都看不懂。直到死后50年他的手稿才发表，被当时的学界认可了。科学史上最伟大的发明往往来源于年轻人，为什么？因为他们受传统思想影响还不大，没有条条框框的限制，还有批判思维能力。这样的一个一般性的基石性的理论（研究对称与变换，意味着，你所做的一切变换都可以纳入这个体系，而什么是变换呢？加法减法，平移旋转，这些都是变换，所以这个理论相当的具有一般性）为什么前人没有发现？不知道，没有答案。但我们知道的是，这套理论大放异彩，渗透到数学的各个理论，甚至在音乐，艺术（你应当知道，那些艺术家利用的对称和弦是是极好的变换）。

类似的是度量空间和拓扑学。度量空间来源于对于欧几里德几何的研究。然而在一般的平面几何研究中，我们是不讨论长度的（回忆初中生活10秒~），度量空间补上了这一个空缺，它谈论了不同的长度的定义，将几何学抽象出来作更细致的研究。

而拓扑学则更为抽象，也更为general，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。早期一个古典的问题：哥尼斯堡七桥问题很能说明这门学科的精髓所在（爱山的童鞋自行翻阅《数学活动课》丛书，其他孩子建议翻阅《庞加莱猜想》了解一些拓扑学的内容，顺便提句庞加莱猜想，这是悬赏一百万美元奖金的千禧年七大数学问题之一，已被佩雷尔曼破解，原本的猜想内容是是在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。很不起眼？事实上这个猜想有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。）

拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。

在拓扑学里我们完全不考虑度量和形状，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。

换句话说，拓扑学中，我们追求的是最本质的特征，比如一个流形有几个“孔”，这涉及到连通性的概念；再比如下图，对于拓扑学家来说，这里出现的所有实体，都是同一样事物（为什么？）

而另一个拓扑学中有趣的例子是 莫比乌斯带：

思考：如何操作，可以使你手中一条纸带的总长度趋于无穷大，且不破坏纸带的基本结构？

3、本质与结构，数学界的前进方式

“一个好的定理在刚出来时，往往难得不得了，几百页的证明，你当然晓得Picard定理，Picard证明这个定理的时候，是一百多页的证明，现在Picard定理的证明可以一页多就证完了，这是什么原因?我们说这个定理重要，我们就会花很大力气慢慢将它消化，直到最后定理看起来是平凡的，基本上重要的定理，就算不是短期的，十年、二十年后，这个证明会很简单，因为通常我们将这些定理的证明分解，分解成很小部分，各个小部分吸收到不同地方去，最后剩下的是一个平凡的证明，历史上所有的发展都是这样。比如平面几何，在埃及的时代，由于阿拉伯人一把火把埃及亚历山大大帝图书馆烧掉了，埃及当然是没有文献留下来。不过我相信埃及造金字塔用了两千年，图书馆中一定搜存了很多关于平面几何的定理和事实。当时没有欧氏公理，所有的现象很乱，乱得不得了，这边一条定理，那边一条定理你可能觉得很难很难。可是这整个东西，等你将定理整个了解以后，就变简单了，我想差不多是这个意思。”——Shing-Tung Yau

我们看过了一系列的数学成果，现在，我们可以初步的把握一点点数学家们的思考方式。

他们思考问题，将问题不断分解简化，抽象成一般性的问题，使他们可以运用一些已有的数学工具去解决问题。

待到这个问题在人们运用original idea彻底解决之后，人们不断消化理解在这个问题中所理解的一些内容，然后这些会沉淀下来，成为新的工具，去解决新的问题，不断循环。

而在这个过程中，本质和结构非常重要。在面对一些问题时，一个合理的定义和公理能让问题变得简洁，数学家们为了简洁的数学结构不可不谓“丧心病狂”，平面几何有一堆命题，可他们只确立了5个公理，这意味着其他命题都需要被证明。。。

但不得不说公理化的架构体系是令人兴奋的，你是愿意宣称：我只要5个公理就可以掌握平面几何，还是：我用了1000个公理证了这个命题？这和Apple以及Steve Jobs宣称的，“至繁归于至简”是一致的。简洁意味着我们更好的理解了这些事物，真正了解了本质。没有人喜欢复杂的结构。

从这个角度看，把数学比作大厦是非常合适的。公理和所有人类积累的技巧构成了大厦的基石，而利用这一切，我们可以爬得更高，架起更高的建筑，看得更远，如此循环。

4、艺术家

曾经看到过一个比较贴，关于陶哲轩和伽罗华天赋对比——伽罗华——那位为爱决斗而早亡的天才毫无疑问的胜出了。

因为，如果说Tarence Tao 是在几栋大楼间加装了若干漂亮的天桥，伽罗华做的则是平地另起一栋华丽的高楼。

说伽罗华，这是一个英年早逝的天才数学家，他死因是：为爱决斗，然后。。。然后就没有然后了。。。

非常激进，非常浪漫的天才。

我觉得，在科学家和艺术家之间，数学家更接近于艺术家，又或者说做数学的人活在人文和科技的交叉点上。

很多关于数学的事物，在你深入进去之后会看到一种思想上的结晶，是一种思维的美感，这类似于音乐，绘画，文学的模式。

但不会有人抱怨音乐绘画文学难以理解，就算他不懂和弦（写成书有厚厚一大本），不懂线条明暗配色，不懂意象构造和文字深层内涵，但他依然能听能看能读，乐于其中。从这个角度来说，数学很高贵，鉴赏数学的门槛很高，这就能使数学避开了一批人云亦云，装模作样的人来滥竽充数。

你应该知道，据说维多利亚女王非常喜欢《爱丽丝梦游仙境》，所以她请 Lewis Carroll 务必带来他的新书一睹为快，于是女王收到了《浅论行列式，及其在线性和代数方程组中的应用》 ；你也可以知道，很多大数学家同时都是音乐天才，甚至有在乐队供职的……

但抛开这一切，数学是自然科学中唯一一门可以天高任鸟飞的学科——不依赖于实验，只依赖于思想——这就是它与艺术和文学的共通之处，也是学习数学的最关键的认识：

你什么也没有，只有思想。

视频 | 数学的美丽与力量

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