10个“优美公式”给高中数学提提鲜+冬奥会开幕式的10个惊艳瞬间

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20220205

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公式来源：科学演绎法《穿过60个数学公式欣赏美的体验》

例题补充：宋东明

1. 欧拉恒等式

其中  是自然对数的底， 是虚数单位， 是圆周率。

美国物理学家理查德·费曼称欧拉恒等式为“数学最美公式”，因为包含了数学中  个最重要的数学常数：、、、 和 。并且包含了三种最基本的算术运算：加法、乘法和幂运算。绝对令人惊讶的是，这些看似无关的数和运算都被这个简洁的公式联系起来。

欧拉恒等式是欧拉公式(所列第五个)的一种特殊形式，后者如上图右侧所示。

高中数学应用

【答案】A                                              

2. 毕达哥拉斯三角恒等式

毕达哥拉斯三角恒等式(Pythagorean trigonometric identity)，正弦和余弦函数之间的基本关系之一。另外两个相关公式如下所示：

3. 欧拉示性数/欧拉公式(图论)

代数拓扑中的一个最基本公式。而在平面图是单连通图的时候，公式简化为上式。其中， 是顶点的数目， 是边的数目， 是面的数目。

而在非单连通图的时，顶点个数、边数和面的个数之前关系是

其中  是连通数。

高中数学应用

【答案】 (1)二十     (2) 

【解析】(1)我们可以设有个面，观察可得：每个面都是三角形，而2个面共用一条线，∴共  条线，可以用多面体欧拉公式:

(2)设该正二十面体的边长为：

又因为  ，且  则  ，

∴  

∴该正二十面体的表面积：

这是我们熟悉的   ,设五边形有  个，六边形有  个，可由正二十面体截角得到.

两面共一线，三面共一点，得：              

                 

  示图：

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．

【解析】

（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.

可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：

四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.

∴四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，

则其总曲率为：  

（2）设顶点数、棱数、面数分别为  ，所以有：

设第个面的棱数为  ，∴  

∴总曲率为：

【答案】 (1)         (2)                                                                             

【解析】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长4.  ∴表面积为：  

根据对称性可知：三个黄金矩形的对角线交于一点，设该点为 ，则每个顶点到点  的距离都相等且等于黄金矩形的对角线的一半.

∴外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，黄金矩形的短边长为4，设长边为   ，则：

∴黄金矩形的对角线长为： 

∴外接球的半径为：  

  ∴外接球的表面积为：  

 1. 正二十面体定义

正二十面体(Regular icosahedron) 是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面。为五个柏拉图多面体之一.

(正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种)

                      

正二十面体展开图：

 2.性质

1.正二十面体的外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合。

2.正二十面体的外心、内心、内棱心重合的点称为该正二十面体的中心。

3.正二十面过任顶点和正多面体中心的直线必然经过正二十面体的另一顶点，并且这两个顶点到正二十面体中心的距离都相等。

4.连线经过正二十面体的中心的两点称为相对顶点，连两双相对顶点的两条棱称为正二十面体的对棱，由对棱围成的两个面称为正二十面体的对面。

5.正二十面体的对棱、对面都平行。

 3.体积公式

  （其中  为棱长）

 4.体积公式

体心到每个顶点的距离（外接球半径）  

体心到每个面的中心的距离（内切球半径）  

体心到每条棱的中点的距离（切棱球半径）  

4. 高斯-博內定理

在微分几何中，高斯-博内定理（亦称高斯-博内公式）是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述。

其中:

(1)   是二维流形  的总曲率  上每点的高斯曲率  的面积积分）。

(2)  是边界  上某点的切向量绕  转一圈回到该点时切向量转过的角度，第一项是光滑部分转过的角度之和

(  上每点的测地曲率  的长度积分），第二项是光滑部分交界处转过的角度之和（外角和）。

(3)  是  的欧拉示性数。

球面上每点的高斯曲率

由于对称性，可以得出球面  上每点的高斯曲率  都相同。半径为 的球的表面积   . 球面的欧拉示性数  .由于球面  没有边界   ，所以  自动为0.代入高斯-博内公式可得  ，整理得  

外(内)角和-总曲率关系

对于二维流形上的  边形  （由  条测地线连接的封闭图形），  

  代入高斯-博内公式可得：

假定内角和是  ，注意到：

整理可得：     

高中数学应用

（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；

（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．

答案】（1）       （2）  

5. 欧拉公式

欧拉公式是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。当  时，欧拉公式即欧拉恒等式。

证明：利用麦克劳林公式：  

把函数  和函数  以及函数  带入这个公式，得到

∴  

高中数学应用

【答案】AB

6. 高斯积分

高斯积分，有时也被称为概率积分，是高斯函数  在整个实数线上的积分。

7. 黎曼  函数的倒数

高中数学应用 

【答案】(1)        (2) 18

8. 指数函数

指数函数  可以用各种等价的方式定义，特别是它可以定义为幂级数的形式。

另有其他重要的幂级数展开式，比如  与 ，但这里未收录在这 60 个公式之中。

9. 高斯函数的傅里叶变换

10.  的极限值定义式

另一种等价定义如下：

高中数学应用

 【解析】                                                                                                                        

2月4日晚

第二十四届冬季奥林匹克运动会

开幕式

在北京国家体育场举行

从黄河之水天上来

到迎客松盘桓鸟巢

每个创意都让人拍案叫绝

从普通中国人手手相传国旗

到五星红旗与冰雪五环交相辉映

每种情怀都直抵人心

01

 二十四节气倒计时

鸟巢上空现“立春SPRING”焰火 

北京冬奥会开幕日

恰逢二十四节气中的

第一个节气——立春

倒计时表演以《立春》为题

孩子吹散蒲公英

白色的种子飞向空中

鸟巢上空出现“蒲公英”焰火

和中英文“立春”“SPRING”焰火

将一个天寒地冻的日子

命名为春天的起点

是因为中国人认为

极寒中常常孕育着新的生机

02

 国旗在普通中国人手中相传

这个瞬间最直抵人心 

国旗入场时

传递国旗的人

包括中国各行各业的代表、

国家功勋人员、56个民族的代表

他们都是普通的老百姓

用手手相传的方式

表达人民和国旗之间的情感

03

 升国旗奏国歌

点赞伟大的祖国 

经过普通中国人手手相传

国旗被传递到国旗班手里

现场响起嘹亮的国歌声

国旗在庄严的国歌声中升起

此刻，点赞伟大的祖国

04

 冰蓝色水墨从天而降

幻化为“黄河之水天上来” 

一滴冰蓝色的水墨从天而降

幻化为黄河之水

倾泻而下

画面的意境来自古老的诗句

“黄河之水天上来”

这是中国人对母亲河的

浪漫想象和赞美

05

 冰立方渐渐碎裂

雕刻一个晶莹剔透的冰雪五环 

6个冰球运动员与影像冰球击打互动

冰球在视频空间中反复撞击后

整块冰立方渐渐碎裂

雕刻成为一个晶莹剔透的冰雪五环

这也是“破冰”的过程

在中国文化中

“破冰”代表打破隔阂、化解矛盾、

走近对方、互相理解

06

 敞开“中国门”迎客

“打开窗口看中国” 

冰雪雕刻的

“中国门”和“中国窗”

取材于中国各地经典传统门窗图案

运动员走过的“中国门”

寓意中国人民敞开大门

欢迎全世界的朋友相聚冬奥

运动员脚下的“中国窗”

窗外是中国各地的大好河山

表达“打开窗口看中国”的美好意向

07

 中国队，来了！

五星红旗和冰雪五环同框 

在歌唱祖国的乐曲声中

东道主中国队入场了

北京冬奥会

中国体育代表团总人数达387人

规模为历届之最

08

 构建一朵雪花

寓意“协和万邦” 

所有的引导员

高举各参赛国家（地区）名的

雪花引导牌

通过舞蹈与地面光影的互动

让所有雪花聚合

共同构建成一朵大雪花

09

 空中呈现“迎客松” 

欢迎全世界来宾的到来

一棵松树

生长在高山的岩石缝隙中

至少有1300年的树龄

它一侧的枝杈伸出

非常像一个人伸出一只臂膀

欢迎远道而来的客人

北京冬奥会开幕焰火

第一次在空中呈现“迎客松”

欢迎全世界来宾的到来

10

 火炬是“全世界”

“微火”百年未有 

在童声合唱《雪花》的歌声中

“大雪花”再次升起

最后一棒的手持火炬

转化为北京冬奥会主火炬

这是百年奥运史上

从未有过的“微火”

注定会成为

奥运史上的经典瞬间

北京冬奥会已经拉开大幕

加油，所有的冬奥健儿！

加油，中国队！

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