做一题，归一类，得一法（十一）——分而治之

公众号“潘越高中数学”创建于2020年7月10日，近一个月来受到广大热爱数学的朋友的关注和支持，也有热心朋友对办好本号提出中肯的意见，我将不断学习，积极改进，与各位朋友共同创建一个更加利于学习与交流的平台！同时，我将以如既往地为大家服务，也欢迎各位朋友批评和指导。在此，特向关注公众号的朋友致谢！

天下大事，分久必合，合久必分，解题也是如此，特别是一些复杂的恒不等式问题、函数零点问题，若一味地把题目所给的函数（或不等式）看成一个整体，有时具体处理起来将会比较复杂，而且常常导致隐零点的情况出现，在解题中若能根据题目特点，作出恰当变换，分解为两个函数分别处理，可能会变得异常简单。对于分而治之这种方法在函数零点问题方面的应用，在推文做一题、归一类、得一法（五）——巧转化，分两边，凹凸反转看零点中已做了初步探讨，下面以具体实例说明《分而治之》这种方法在不等式恒成立等问题方面的应用。

【评注】此法通过转化，拆分成两个函数，两个函数凹凸性恰好相反，且在同一处分别取到极大值和极小值，结合图像很容易得到答案。但若不进行拆分势必麻烦。不过如何分拆需要我们对目标函数的图像和性质有一个准确的把握，有时可能要进行多次试探方可达到目的，对学生能力要求较高。

【评注】此法通过转化，拆分成两个函数，两个函数凹凸性恰好相反，且在不同处分别取到极大值和极小值，结合图像很容易得到答案。但若不进行拆分势必麻烦。不过如何分拆需要我们对目标函数的图像和性质有一个准确的把握，有时可能要进行多次试探方可达到目的，对学生能力要求较高。

【评注】此题（2）中解法1通过转化，拆分成两个函数，其中两个函数分别在不同点处且到相同的最值（实际中常常为极值），结合函数单调性和图像很容易得到答案。但若不进行拆分势必麻烦。不过如何分拆需要我们对目标函数的图像和性质有一个准确的把握，有时可能要进行多次试探方可达到目的，对学生能力要求较高。

【评注】此法利用切线作为两个函数的中间函数，相当于一个挡板，把两个函数分隔在两边，实际上是第三种题型的进一步推广，我们姑且称之为构造中间函数（函数的切线对应的函数）证明不等式。

【评注】由上述(III)证明过程可知，为证明原不等式，先将不等式的一边通过放缩，得到一个中间函数，再证明中间函数与不等式的另一边的大小问题，也是插入中间函数法证明不等式的情况，只是这里中间函数不是切线罢了。

【评析】本题考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查讨论和转化的数学思想.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式拆分为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值。

推荐阅读

公众号“潘越高中数学”诚邀高中数学教师和热爱数学的朋友不吝赐稿！

来稿时请注意以下几点：

（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不予采用）。

（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本出现乱码）。

（3）文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，来稿文责自负。

（4）投稿邮箱：[e-mail]。

（5）来稿作者请随稿附上“作者简介”，为让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

---