凯利公式可以用于投资仓位控制吗？

文 | 微光

图 | 微光

公众号 | 微光探索

ID | WeLightX

一、一元到一亿的游戏

▍1. 下注游戏

来玩一个游戏，下注1元，如果赢了，可连本带利赢回2元；如果输了，会损失所有下注本金。假设游戏的胜率为70%，问每次下注多大比例，才能使收益最大化？

答案是40%。可以由著名的凯利公式  计算得到。  是你赢时对方的赔率（含自己的下注本金），  是赢的概率。这里  取2，  取70%。

凯利公式的另一个版本是  ，但这里  是不含本金的净赔率。净赔率  ，赢的概率  ，输的概率  。计算结果自然是一样的。

如果你对凯利公式的推导感兴趣，可以点击查看本公众号前期关于凯利公式的「公式太多费脑版文章」。

▍2. 游戏模拟

如果不想看枯燥的数学公式，但又想验证一下结果的正确性，怎么办呢？别急，我写了一段代码来模拟一下这个游戏，可直观感受下不同下注比例的结果。

程序不长，只有几行代码，如果计算机装有Matlab，可以直接拷贝过去运行。

%下注游戏模拟
f = 0:0.001:1;
Y = ones(1,1001);
for i=1:1000
    r = rand;
    if r < 0.7
        Y = Y.*(1+f);
    else
        Y = Y.*(1-f);
    end 
end
hBar = bar(f,Y,'EdgeColor','none'); 
grid on;
saveas(gcf,'Kelly','png');

把不同下注次数的资产变化过程做成动图，结果如下。其中横坐标是下注比例，纵坐标是下注一定次数后的总资产，最优下注比例确实在40%附近波动。

需要注意的是，这是一个概率问题，因此每次运行的结果都会有差异。40%的最优下注比例也只是一个理论值，实际的最优比例并非正好40%，而是在其附近一定范围内随机变化。

如果每次都下注40%，最初的1元资产，理论上经过约224次后，会变为1亿元（  ）量级。

然而，如果下注比例选择不好，资产的增值速度就要大打折扣。假如你只想着梭哈能大赚一笔，这个看上去赢面很大的游戏，你的资产也终会清零，因为总会存在输的情况。

二、投资与下注游戏的区别

游戏按照凯利公式下注，一元资产轻松变一亿。那么对于投资，是不是可以照猫画虎，利用凯利公式获得一个最佳投资比例模型，轻松实现A8的小目标呢？

但事实上，投资与上述下注游戏存在较大区别，主要有以下几点。

▍1. 涉及变量较多

当损失率和收益率都不确定时，更一般的凯利公式是：  。具体推导详见前期「公式太多费脑版文章」。

其中，  是赢的概率，  是输的概率，  是输时相对本金的净损失率，  是赢时相对本金的净收益率。

对于下注游戏，输赢的损失率和收益率是事先约定好的，唯一需要关注的变量是赢的概率，相对来说比较简单。

但对于投资，公司未来业绩的上涨概率、上涨幅度、下跌幅度三个变量都是未知的，而这三个参数都会影响到投资比例的决策。

即便如此，上述凯利公式仍然是一个只有两种结果的简化情形。实际投资中，可能会出现多种可能的结果，而不是简单的非黑即白，这会带来更多的变量参数。你甚至难以建立一个准确的模型来描述。

变量太多带来的结果，是难度和不确定性显著增加。

巴菲特曾调侃：“经济学不过是娱乐大众的东西，如同综艺节目一样，我没见过哪个经济学家在股市中大赚特赚。经济学家们不过是猜猜而已，经济当中到处都是变量。”

老唐估值法之所以实用，也是因为整套估值方法中，仅仅有三年后的净利润这一个变量，增加了方法的可实操性。

前期聊过的换股相比买股而言难度大大增加，重要原因也是引入了更多变量。

▍2. 难以预估精确数据

对公司未来业绩的预测，通常是一个模糊估算，难以获得精确数据。而要同时预测业绩的上涨概率、上涨幅度、下跌幅度三个精确数据，几乎不可能实现。这些数值都会直接影响凯利公式的计算结果。

比如，类似前面的押注游戏，我们分析认为某家公司未来业绩上涨100%的概率为70%，剩余30%的概率假设业绩下跌归零，则按凯利公式计算的最佳投资比例为70%/100%-30%/100%=40%。

但只要稍变一下，如果分析认为某家公司未来业绩上涨100%的概率为70%，考虑到公司业绩通常不会直接归零，预计剩余30%的概率为业绩下跌50%，则按凯利公式计算的最佳投资比例变为70%/50%-30%/100%=110%。

参数稍有变动，结果就会出现巨大差异。从投资40%比例，变为满仓加10%杠杆。

事实上，凯利公式中的三个参数，我们一个也无法精确预估。

▍3. 兑现需要时间成本

还有非常重要的一点是投资收益的兑现需要时间成本。

下注游戏关注的，是通过优化下注比例，在给定下注次数内实现收益的最大化。游戏或赌局，通常很快可以完成一局，时间成本可忽略。但时间成本较小的游戏，往往不会有过高的胜率，胜率通常在50%或者更低。否则，就如前文模拟的结果，指数增长效应会产生惊人的回报。

投资，理论上不是一个零和游戏，而是一个正和博弈，胜率可以远大于50%。但与押注游戏不同的是，投资收益的兑现需要时间成本。否则，一个亿的小目标也可轻松实现了。

同时，投资不关心投资次数，投资所关注的，是给定时间周期内如何实现投资收益的最大化。你关心的是一年内收益率有多少，至于是投资了三次、五次还是十次，并不重要。

凯利公式里没有时间项，而实际上预期收益率是与时间相关的。预期一年翻倍和三年翻倍，显然应该对应不同的投资权重，而如果按凯利公式，只要是预期翻倍，并且预期的概率相同，误判的损失相同，就对应同样的投资比例，与多长时间实现没有关系。

因此，无法由凯利公式直接得到某只个股的下注比例。实际投资中，通常的做法是对相同时间内不同个股之间的预期收益和可能概率进行横向对比，来决定个股的仓位比例。

三、投资的仓位控制

▍1. 整体仓位

凯利公式虽然无法直接用于个股的仓位评估，但凯利公式就像自由现金流折现一样，是一种思维方式，确实也可以用于指导投资。

个人认为，凯利公式对于仓位的指导意义，在于所有投资的总仓位控制，而非个股的仓位占比。这一点，目前我还没有看到其他地方有过类似说法。

投资的总仓位如何控制，是否应该满仓，其实是股票（或其他投资标的）与现金之间的比较。如果不考虑现金较低的无风险收益率带来的增长，现金可以近似认为是随时间不变的，于是也不存在凯利公式无法体现时间因素影响的问题。

那么，何种情况下，可以满仓投资呢？根据凯利公式，当  时，满仓是更好的选择。

比如，把股票等所有投资当作一个组合体，预期整体投资有三分之二的胜算能翻倍，三分之一的概率发生误判，误判时本金腰斩损失一半，这种情况下，从概率角度满仓投入能获得最大收益。也就是说，如果翻倍概率是腰斩概率的两倍以上，满仓投入是概率上更优的选择。

即  。投资不同次数后的资产变化过程模拟如下，投资比例在100%附近时，能获得较好的结果。

事实上，这只是其中一种组合，对于能否满仓，存在预测净收益率、预测概率、误判的净损失率三者之间的多种可能组合，条件是满足  。

比如，预期有75%的概率能上涨50%，25%的概率会下跌50%，同样也可达到满仓的条件。

只要预期收益率足够高，预测概率足够大，便可满仓持有，坐定不乱，看庭前花开花落，望天上云卷云舒。

从概率上看，理论上也是可以上杠杆的，只要预测概率足够高，误判后的损失足够小，  就会大于1，但这是有条件的。

从凯利公式可以得出的一个重要结论是：如果预测错误会损失所有本金，那么最优投资比例永远会小于等于1，这是我们常说“远离杠杆”的原因，这时只有预测概率达到100%时才可达到满仓条件。

即如果  ，容易得到在任何情况下都有  ；这时只有当  时，才能达到满仓条件  。

实际投资中，大多数情况下个股通常不会带来所有本金的损失，但如果加杠杆，会存在强制平仓的问题，加上杠杆的放大效应，可能会带来接近100%的本金损失，而投资也无法达到100%的确定性，所以才有了“远离杠杆”的忠告。短短四个字，是无数血的教训换回的。

作为一个投资整体，虽然具体参数也很难预测，但凯利公式的标准可以作为投资者心中的一杆秤，用于大致评估。

整体仓位的控制，取决于你对投资整体的胜率、收益率、损失率的分析和判断。杠杆存在强制平仓的风险，可能会带来近乎所有本金的损失，凯利公式告诉你要“远离杠杆”。

▍2. 个股仓位

个股在整体投资中的比例，我认为和凯利公式没有太大关系。

其原因，一是难以预估凯利公式中的精确数据，二是凯利公式没有体现投资的时间因素，三是按照价值投资的安全边际思想，能入选的标的大部分都符合凯利公式的满仓标准。

个股的仓位控制，需要从另外的角度考虑。

投资，说到底是比较。理论上讲，抛开预测的准确性，你的所有投资标的中，综合考虑胜算、收益率、损失率等因素后，根据分析必定存在最优的一个。显然，将所有资金集中投资于单个最优标的，能获得数学上的最优期望。

实践中也有人这么做，其中包括权威投资大咖，但相对来讲这种方式还是少数。

个股仓位的上限控制，以及对投资行业的适当分散，主要目的还是为了降低不可预知因素带来的风险。比如黑天鹅事件、环境及政策的影响、行业的变迁、个人的判断错误等等。

分散投资，理论上会降低收益率，同时也会降低风险。

相对而言，适度分散、相对集中，是一种更加广泛的选择。比如，个股40%的仓位上限，三五个行业，七八家公司，是收益率与风险之间的平衡。

至于个股仓位上限到底是40%还是50%，个股数量是五只、八只还是十只，更多的是一种经验和习惯，没有严格的定量推理和依据，取决于个人的风险偏好。即使按保留安全余量的分析计算，也是知道答案后的反凑，实际意义不大。

既然是经验，那么根据个人的风险偏好，参考取得优秀投资业绩的前辈们是如何做的就可以了。

四、总结

最后，总结一下本文的主要观点：

1. 在仅有获胜概率一个变量的下注游戏中，凯利公式具有较好的指导意义。

2. 投资与下注游戏相比，存在涉及变量多、预估精确数据难、兑现需要时间成本等特点，应用凯利公式要更为复杂。

3. 凯利公式可以用于整体投资仓位的分析，如果预期翻倍概率是腰斩概率的两倍以上，或者在预测净收益率、预测概率、误判净损失率三者组合满足下注比例大于1的条件下，满仓投入是一种概率上更优的选择。

4. 如果预测错误会损失所有本金，那么最优投资比例永远会小于等于1，这是我们常说“远离杠杆”的原因，这时只有预测概率达到100%时才可达到满仓条件。杠杆存在强制平仓的风险，可能会带来近乎所有本金的损失，凯利公式告诉你要“远离杠杆”。

5. 个股的仓位控制，与凯利公式没有太大关系。将所有资金集中投资于单个最优标的，理论上能获得数学上的最优期望。个股仓位的上限控制，以及对投资行业的适当分散，主要目的还是为了降低不可预知因素带来的风险，可结合个人的风险偏好参考历史成功经验设定。

声明：本人所发文章均仅用于记录个人学习思考，不用于任何投资建议。