《高考数学全国卷解密》之三角形模型（续2）

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昨天基于学生需要，临时探讨了2020年佛山一模中的涉及到三角形的有关问题，今天我们回到三角形的正常研究中来，着重探讨一下几何条件下的解三角形问题.

 解三角形的基本原理 

利用三角形内蕴的基本方程与不等式（正弦定理、余弦定理，三角形内角和定理，三角形三边的不等关系），解决代数条件下或几何条件下的三角形三条边与三个角的度量问题.在获得三角形三条边或三个角的度量关系的同时，也可以获得该三角形其他度量信息，如三角形的周长、面积以及其他伴随要素的度量信息.所谓给定的代数条件或几何条件，既可以是基于三角形三条边、三个角的有关等式，也可以是基于周长、面积等反问题信息.这些给定的条件是否等价于三角形全等判定的基本定理（角边角、边角边、边边边），决定了该三角形是完全可解，还是局部可解.

     上述原理其实就说明了一个问题，解三角形就是构造方程解方程!下面具体看看如何构造方程.

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以三角形为载体

    在涉及到几何条件下的解三角形问题时，常常会遇到一个三角形中增加一条线的情形，增加一条线的价值是什么？这样的解三角形该如何处理呢？

   本题中，在三角形ABC中增加了一条线AM，其实质是提供了一条公共边和一对互补的角，也即提供了一个互补角余弦值和为零构建的方程！

利用余弦定理，也即

当然这个式子也可以利用中线长公式直接得到，但其实质仍然是上述余弦定理.

由于目标是面积最值，因此可以从代数与模型角度来看待目标变量，得到

方向一：向二次函数方向转化

方向二：向模型方向转化

 处理方式上也有两个方向

    以上我们探讨一个三角形中增加一条线问题的处理方式，其实质是提供了一个基于余弦定理构建的关于角互补余弦和为零实现的方程.

2

以四边形为载体

   在高考和各种考试中，经常会遇到四边形为背景的考题，在这个四边形中的三角形有何特点？又是基于何条件来构建方程（组）呢？

     研究上述图形，结合题设条件，注意到三四边形中两个三角形是相互关联的：公共边+互余角.因此可以考虑利用互余的角来构建一个方程，基于所给条件，分别使用正弦定理得到方程（组）！重点研究第二问，如图：

解之得：

相关链接：
《高考数学全国卷解密》之三角形模型

几何条件下的解三角形一般规律

几何条件下的解三角形问题，关键是要构建起两个三角形公共的边与关联的互余或者互补的角，这样才能利用正余弦定理这一内蕴方程构建起方程组，从而使得问题获解.其中要使四边形或者三角形完全可解，必须要有一个独立的三角形的条件满足全等三角形的判定条件，如果不满足，则是局部可解，

编者的话

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