函数恒成立存在，主为客来定最值

【思想提炼】

恒成立意思即为对定义域而言这个式子总是成立，都成立，必定成立等等,充分体现中华文化之博大精深.当然，数学中有时也没有这些词语，在没有特指的情况下也是恒成立之意.我们应该如何理解这六个式子呢？其实，只要掌握了原理，这个问题是很简单的，问题的本质就是函数上界、下界的问题.上述1-6中1和2是基础，其余四个式子实际上就是1,2的演变.

式子1和2很容易理解的，假如班上有50位同学，身高都在1.4,米-1.9米之间，这时姚明来了，显然姚明比全班任意一个同学的身高要高，则姚明比全班身高最高的同学还要高.同理如果这时来一个侏儒，这时因为他的身高比全班任意一个同学的身高要矮，则他比全班最矮的同学还要矮.可以说也是一个简单的数学建模，君可曾记得2019年课标I卷维纳斯那题？

式子3,4如何理解呢？实际上，式子3中f(x)最小值>0，把0“看成”a,不就式子1吗？同理式子4就是式子2的变式.也就是说式子3,4通过构造函数f(x)-g(x)的方法转化为了式子1,2，体现了化归的数学思想.

式子5,6又改如何理解呢？实际上式子5、6是双变量函数的问题，我们可以采用主次分明的策略来解决.例如式子5中将f(x1)看成主元，那么f(x2)就是次元，令a=f(x2),则f(x2)<f(x1)最小值；接着再反客为主，f(x1)看成次元，那么f(x2)就是主元，所以f(x1)的最小值>f(x2)最大值.同理可知：式子6也成立.如果将式子1,2中的a看成一个变元，不也是双变元的问题吗？所以式子5,6也就是式子1,2了.这也是转化与化归数学思想的一个体现.

【思想提炼】

能成立意思即为对定义域而言这个式子可以成立，能够成立，存在一个或者若干个可成立等等，处理方式与上面可以说是完全一样的.当然，数学中能成立的问题题目条件一般会标注.我们应该如何理解这六个式子呢？类比上面恒成立问题.上述1-6中1和2是基础，其余四个式子实际上也是1,2的演变.

还是以刚才身高都在1.4米-1.9米的50位同学班级为例来说明，这时有个身高1.7米的快递小哥来到他们班，显然存在有同学的身高比他矮，即快递小哥是高于他们班最矮的同学，也即式子1是成立的.式子2同理，不再赘述.

至于式子3,4,5,6的说明与恒成立的说明完全类似，这里以式子5来举例说明.

式子5是双变量函数的问题，一样采用主次分明的策略来解决.我们仍然将式子5的f(x1)看成主元，那么f(x2)就是次元，令a=f(x2),则f(x2)<f(x1)最大值；接着再反客为主，f(x1)看成次元，那么f(x2)就是主元，所以f(x1)的最大值>f(x2)最小值.

【思想提炼】 授人以鱼不如授人以渔，数学来源于生活，我们尽量把枯燥的数学讲得生动些，恐怕不得不多从学生的实际出发，教学中很多思想的碰撞来源知识生成的矛盾，我们要以数学思想为引领，着力帮助学生搭好脚手架，让学生学有所获，学有所得.这样在教授新课的过程中我们也能体会到育人成功的快乐.这不是双赢的事情吗？ 

哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现 象而抓住真正的实质。……又因为这是

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编 辑 ｜小乐     校 对 ｜小乐 

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