突出函数思想，挖掘解析几何本质 ——记2019年新课标高考Ⅱ卷理科数学第21题思考

作者：范友宝 佛山市顺德区青云中学

责编：范友宝

审核：王常斌

解析几何试题特点

【摘要】教育部考试中心指出：数学是思维学科，主要是理性思维，包括从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（如存在性、唯一性、不变性）.

解析几何的诞生是近世代数学发展史上的一个里程碑，学习解析几何常常被视为通向理解和掌握现代数学的桥梁.在我国的新课标中，平面解析几何知识主要集中在三个方面：一是解析几何初步，主要是对直线和圆的方程及其几何性质的研究；二是对圆锥曲线的研究，包括椭圆、双曲线、抛物线的方程及其几何性质；三是坐标系与参数方程，即通过建立不同的坐标系和方程来研究几何图形之间的关系.

近几年高考解析几何圆锥曲线的压轴解答题立足基础，凸显对学生数学思想与能力的考查，解析几何以坐标法为基础，建立用代数方法研究几何问题的知识体系，考查学生对题意的理解，对解析化途经的选择，下面本人以2019年新课标高考Ⅱ卷理科数学第21题为例，对解析几何题进行具体解析.

试题呈现

试题分析

    第（1）问考查回归教材，考查了圆锥曲线有关的轨迹问题，用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程.

    第（2）问中的（I）题考查对解析化途经的选择，证明三角形为直角三角形的方法有：勾股定理，向量法，平面几何知识等等，如何解析更为简便，是要学生学会解析并做出选择.在这里，自然选择坐标法更为合适,作答如下：

。

   从以上解答来看，解析几何以坐标法为基础，建立用代数方法研究几何问题的知识体系，考查学生对题意的理解，对解析化途经的选择，然而，本人思考对于一般性的结论，此题是否成立，于是，在以上试题的基础上，本人大胆探索，有了以下思路：

。

解析几何复习启示

   对于思路一与二，解析几何试题往往以最值问题或者圆锥曲线的基本量为依托，通过转化，运用函数与方程的思想加以解决.

    高考对解析几何试题的考查主要在以下三个方面：①圆锥曲线的定义，圆锥曲线定义是一切几何性质的“根”与“源”，是建立曲线方程的基础，揭示了圆锥曲上的点与及准线间的关系，是解析几何试题重要背景；②函数与方程的思想.函数与方程的思想是贯穿于解析几何的一条主线，近几年解析几何试题往往以最值问题或者圆锥曲线的基本量为依托，通过转化，运用函数与方程的思想加以解决；③与圆锥曲线有关的轨迹问题.解析几何的核心是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程.而轨迹问题的考查正体现了这一数学思想.   

    从以上的分析中可以看出2019年新课标高考Ⅱ卷21题很好的体现出解析几何试题的思想与本质.

敬告：为防失联，请扫描关注《乐数》姊妹号《好老师在线数学》

  乐学数韵（ID/抖音：Vlxsy8   视频号/B站：乐学数韵）  

教研、解题、资源 Q群：   1078982440 ，314559613（满群）

本文章和图片来源于《顺德数学家园》

乐数主编近期部分报告及论文

1.《高中数学优秀科组建设报告》，2019年顺德区大教研会议发言稿，2019.9.11

2.《高三解析几何解答题解题模式分析及教学建议》，广东省中学数学（高中组）优秀教育教学论文讲座稿，2019.5.18

3.《对2018年全国高联竞赛广东预赛第9题的深入探究》，发表在《数学通讯》2019.1期

4.《突出学科素养，提升应用意识》，个人学术讲座，2018.11.8

5.“携手共进，相辉相映”——陈万寿工作室交流活动暨高考专题讲座，2019.3.7

6.《依托米勒问题，传播数学文化》,发表在《中学数学研究》2019.2期

7.《利用三个特征点求解一类含绝对值的最值问题》,发表在《中学数学研究》2019.5期

乐学数韵：您贴心的高考好帮手

ID:Vlxsy8

    教研、解题、资源尽在”好老师高中数学Q群"(群号：314559613).在公号后台输进：“入群”即可了解详情.    看在小编那么努力的份上请赐个“在看"吧，您的转发和分享是对我最大的鼓励和支持.一百多篇精彩原创文章，点击"阅读原文"即可免费阅读.