初中数学常见“几何最值问题”探析

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作者简介：兰春燕，屏南华侨中学

初中数学教材常见的几何最值问题，可归结为以下两种类型：第一类是利用“两点之间线段最短”原理解决问题，第二类是利用“垂线段最短”原理解决问题.文章对此问题进行探析总结，以期对同行有所启发.

01利用“两点之间线段最短”解决最值

如图1，从A地到C地有四条道路，哪条路更近？根据生活经验，容易发现：两点之间的所有连线中，线段最短.这一事实可以简述为：两点之间线段最短.

图1

模型1：与轴对称知识相结合

1.如图2所示，要在街道旁修建一个供水站，向居民区A、B提供饮用水，供水站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？

图2

方法：如图3所示，做A点（A、B两点中任意一点）关于直线m的对称点A1，连接A1B交直线m于点P，则线段A1B的长度即为所求的最短的距离之和，交点P即为所求的奶站的位置.

图3

反思：此类问题属“两个定点一个动点”，简称“两定一动型”的常规最值问题，往往可以通过作其中一个定点的对称点，再利用“两点之间线段最短”原理解决问题.

模型1：与轴对称知识相结合

2.如图4，若点A位于直线m、n的内侧，在直线m、n上分别求点P、Q，使PA+PQ+QA周长最短.

图4

方法：如图5，分别做点A关于直线m、n的对称点E、F，连接EF，分别交直线m、n于P、Q两点，则点P、Q即为所求.

图5

反思：此类问题属于“一定两动型”最值问题，可以作这个定点的两个对称点，再利用“两点之间，线段最短”原理解决问题.

模型2：与二次函数知识相结合

如图6，在抛物线和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自点M处出发，沿直线运动至x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动至该抛物线的对称轴上的某一点（设为点F），最后又沿直线运动至点A，则点P运动的总路程最短为_____________.

图6

方法：如图7，作点M关于x轴的对称点C，则EM=EC，作点A关于抛物线的对称轴直线x=3的对称点D，连接CD，交x轴于点E，交直线x=3于点F,根据抛物线的对称性有FA=FD，则点P运动的总路程为AM+ME+EF+FA,而线段AM为定值，故ME+EF+FA=CE+EF+FD,当点C、E、F、D在同一条直线上时总路程最小，最小值即为CD，于是在Rt△ACD 中，AC=4.5，AD=6，由勾股定理可得：CD=7.5，故点P 运动的总路程最短为7.5+1.5=9.图7反思：此题属“两定两动型”最值问题，与抛物线相结合，分别作两个定点的对称点，再利用“两点之间，线段最短”原理解决问题.

模型3：利用展开图与勾股定理相结合

1.如图8，一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？图8
方法：将立方体沿两个面展开成平面图形，结合勾股定理可解决问题如下：有两种方案：方案一：沿正面和右面展开：（如图9）

图9

方案二：沿正面和上面展开：（如图10）

图10

由于20＜21.5，故方案一距离最近，最近距离为20cm.

模型3：利用展开图与勾股定理相结合

2.如图11，一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高10cm，底面圆周长为32cm，A距下底面3cm，求出蚂蚁爬行的最短路程.

图11

方法：如图12，将圆柱沿侧面展开，做出A关于CD的对称点A',连接A'B,则A'B的长度等于蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理，即可算出最短距离为20cm.

图12

反思：与立体图形相结合的最值问题，常需将立体图形化为平面图形，画出立体图形的展开图，再利用“两点之间，线段最短”原理，结合勾股定理解决问题.

模型4：与平移知识相结合

如图13，有甲、乙两所学校分别位于一条封闭式的街道的两旁，现拟合作修建一座过街天桥.问：天桥建在什么地方才能使由甲到乙的路线最短？注意：天桥必须与街道垂直.

图13

方法：如图14，将点A沿竖直向下的方向进行平移至A1点，使平移距离AA1等于桥长，连接A1B，交靠近B一侧的街道于点B1，最短路径为：桥长+A1B，则点B1即为合适的建桥位置，使得由甲到乙的路径最短.

图14

反思：此题属“两定两动型”最值问题，只需紧抓定长线段（如本题的桥长）提供的平移方向和平移距离，将某一个定点进行相应地平移，即可转化为“两定一动型”常规最值.

02利用“垂线段最短”解决最值

如图15，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由.

图15

方法：如图16，过点C画渠岸AB的垂线，垂足为P，在P点处开沟能使沟最短.因为过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

图16

模型5：与一次函数知识相结合

1.如图17，点A的坐标为（-1,0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为         .

图17

方法：如图18，过点A作AP⊥OB，由点A的坐标为（-1,0）可知OA=1，由点B在直线y=x上运动可知∠AOP=45°，△PAO为等腰直角三角形. 根据“垂线段最短”可知：当点B与点P重合时AB最短.易求得此时P点坐标为(-1/2,-1/2).

图18

模型5：与一次函数知识相结合

2. 如图19，已知直线y=3/4x-3与x轴、y轴分别交于点A、B，P是以点C为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB 则，△PAB面积的最大值是         .

图19

方法：如图20，过点C作CM⊥AB，利用△BOA∽△BMC可求出CM=16/5 . 要求△PAB面积最大，线段AB是定值，所以只要求出点P到直线AB的最大值即可，而⊙C上的点到直线AB的最大距离即为过圆心的线段PM=1+16/5=21/5 .

图20

模型6：与圆相关知识相结合

如图21，在△ABC 中，∠BAC=60° ，∠ABC=45° ，AB=2√2，D是线段BC上一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值是___________

图21

方法：如图22，连接OE、OF，则OE=OF，∠EOF=120°，故EF=√3OE= √3/2AD，过点A作AH⊥BC于H点，易求得AH=2，根据“ 垂线段最短”可知2=AH≤AD=2√3EF/3 ，故EF≥√3，所以EF的最小值为√3.

图22

模型7：与轴对称知识相结合

如图23，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45° ，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______.

图23

方法：如图24，作点N关于直线AD的对称点E，连接ME，则MN=ME，由于AD是∠CAB的角平分线，所以点E落在AC上，欲BM+MN的值最小，则EM+MB最小，需点B、M、E在同一直线上且与AC垂直，其最小值恰为△ABC的AC边上的高线，过B点作BG⊥AC于G点,则BG=2√2，故BM+MN的值最小值为2√2.

图24

反思：此类最值问题，常常需要结合实际图形的特征，利用已知图形的特殊性，将问题转化为可利用“垂线段最短”原理解决的问题.

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