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【课本例题分析与思考】5.1.2垂线

永泰一中张祖冬 陪伴成长中的孩子 2022-07-16

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5.1.2 垂线


(人教版课本七下P.3的例1)

本节所学知识:垂线与垂线的性质.本节课本无例题,以下例题是笔者补充.【例1】如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.(1)∠AOC和∠BOD相等吗?为什么?(2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.

【分析】

根据等式的性质或同角的余角相等,即可得到结论.
【解答】(1)∠AOC=∠BOD.理由如下:∵OA⊥OB,OC⊥OD(已知),∴∠AOB=∠COD=90°(垂直的定义).即∠AOC+∠BOC=90°,∠BOD+∠BOC=90°.∴∠AOC=∠BOD(同角的余角相等).(2)∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°.∴∠AOE=180°-∠AOB-∠BOD=180°-90°-32°=58°.答:(1)∠AOC=∠BOD;(2)∠AOE=580.
【改编应用】1如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.则∠AOC的补角是_____________,∠BOC的余角是________.


答案:∠BOE,∠AOC和∠BOD.

2如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.
(1)∠AOC和∠BOD相等吗?为什么?(2)若∠BOD=52°,求∠AOE的度数.

答案:(1)∠AOC=∠BOD,理由略;
(2)∠AOE=142°.【例2】如图,在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建立一抽水站D,将河中的水输送到自来水厂后,再送往A村,为了节省资金,所铺设的水管应尽可能的短.问抽水站D应建在何处,应沿怎样的路线来铺设水管?在图中画出来.

解析:如下图,根据“垂线段最短”和“两点间线段最短”.过点B画l的垂线,则垂足D为抽水站的位置.连接AB.沿D-B-A的路线铺设水管,可使所用的水管最短.

【延伸拓展】
如图,点B为∠EDF的边DE上的一个动点,点A在边DE的上方,过点B作BC⊥DF于点C,请画出符合“AB+BC长最短”的点B.

答案:如下图示.点B为所求作的点.



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【挑战1】如图2-6,直线EF和CD相交于点O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,

(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;(2)若∠AOE=α,求∠BOD的度数(用含α的式子表示);(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系?

【分析】如图2-6T,第(1)(2)两问,均属于同一个问题.根据“平角的定义”得∠AOF=1800-∠AOE,由“角平分线的定义”得∠FOC=1/2∠AOF,再根据“对顶角相等”得∠EOD=∠FOC;由“垂直的定义”得∠AOB=900,所以∠BOE=∠AOB﹣∠AOE,进一步,得∠BOD=∠EOD﹣∠BOE.   再根据上述结果不难找出它们之间的倍数关系.

【解】(1)∵∠AOE+∠AOF=180°,∴∠AOF=180°-∠AOE=140°.
又∵OC平分∠AOF,∴∠FOC=1/2∠AOF=70°.∴∠EOD=∠FOC=70°.∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°.∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°.∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°.(2)∵∠AOE+∠AOF=180°.∴∠AOF=180°-∠AOE=180°﹣α.  又∵OC平分∠AOF,∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣1/2α.∴∠EOD=∠FOC=90°﹣1/2α. 又∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α,∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=1/2α.(3)从(2)的结果中,可得∠AOE=2∠BOD.【好消息】继续无任何条件免费分享2020版《优学中考总复习·数学》课件,课件中含课时讲解、课时同步训练和综合试卷(含阶段训练、基础124的15份、中考模拟)等详细答案,需要的朋友点击下列链接打开文章认真阅读获取方法.

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【挑战2】O为直线DA上一点,OB⊥OF,EO是∠AOB的平分线.

(1)如图2-7-1,若∠AOB=130°,求∠EOF的度数;

(2)如图2-7-2,若∠AOB=α,90°<α<180°,直接写出∠EOF(用α表示);

(3)若∠AOB=α,0°<α<90°,请在图2-7-2中画出射线OF,并直接写出∠EOF(用α表示).
【答案】(1)∠EOF=25°,过程略.(2)∠EOF=90°-0.5α.(3)如图2-7T示,射线OF1或射线OF2就是所求作的射线.∠EOF1=90°-0.5α或∠EOF1=90°+0.5α.



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