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【例1】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【图文解析】（1）如下图解.
（2）与（1）类似：此时CF=BC+CD（＝BD）.（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD﹣BC，如下图示：②上图中，通过△BAD≌△CAF，可得到∠ACF＝∠ABD＝1800－∠ABC＝1350，从而∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝900，如下图示：得△CDF为直角三角形.同时由正方形ADEF可得到∠DAF＝900，OF＝OD（即O是DF的中点），如下图示：分别在直角三角形DAF和CDF中，根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得到OA＝0.5DF，OC＝0.5DF，所以OA＝OC，从而△AOC是等腰三角形.
【拓展】已知：在△ABC中，∠ACB＝450，点D为直线BC上一动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CE．O为正方形对角线的交点，连接OC，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【提示】与原题类似，先证∠ACE＝900.
【例2】已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，动点P在边BC上运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交边AB于点N，连接OP，ON．(1)求证：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；(2)设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．【图文解析】(1)根据正方形的性质及“CN⊥DP“有了下列常用思路（之前多篇文章中已多次说明，需熟练掌握哦！）：通过AAS或ASA全等，得BN＝CP.进一步地，又可得到：再通过SAS证明△BON≌△COP，得OP＝ON，∠BON＝∠COP，所以∠BON+∠BOP＝∠COP+∠BOP，即∠PON＝∠BOC＝900（根据正方形的对角线互相垂直）.因此OP⊥ON.
（2）不规则图形面积，应化为规则图形面积.如下图示：
由(1)知:△BON≌△COP，得S△OBN＝S△COP，得S四边形OPBN=S△BON+S△BOP＝S△COP+S△BOP＝S△BOC＝0.25×S正方形ABCD＝0.25×42＝4.即y=4(定值，与x无关，此时P在边BC上).
也可用下列方法来求解，虽麻烦，但却也是最常用的解题思路：因BD平分∠ABC（正方形对角线平分一组对角），自然会联想到角平分线的性质，可添加下列辅助线：
根据HL可得到△NOE≌△POF，因此S△NOE＝S△POF.从而：
【拓展】已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，动点P在边BC的延长线上运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交边AB的延长线于点N，连接OP，ON．
(1)求证：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；(2)设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．
【例3】已知，正方形ABCD中，点M点在边BC上，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转时，判断AH与AB的数量关系？并说明理由；（2）如图②，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
【图文解析】（1）
所以△ANM‘≌△ANM，且MN＝M‘N，从而S△AN M‘=S△ANM.又AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，所以AB=AH． (上述是通过面积公式得到)
当然也可经过再一次全等(△ADN≌△AHN)或者利用“角平分线的性质”得AH=AD=AB.如下图示：
【拓展】将原试题中的“点M在边BC上”改为“点M在边BC(或CB)的延长线上”，AB=AH，仍成立吗？为什么？【解析】如下图示，结论仍然成立.实际上，还能得到：当点M在边BC上时，MN＝BM+DN，当点M在边BC的延长线上时，MN＝BM－DN，当点M在边CB的延长线上时，MN＝DN－BM.
（2）如下图示，
本题解法非常多（至少有十五种以上，但多数方法用相似或三角函数或构造辅助圆），有兴趣的朋友可以到本人的云课（优思数学网：文章后面有详细地址）中的“一线三等角的相关变式应用(45度的角相关)“视频讲解.本文就从第（1）题的结论出发，进行解析，注意体会图形的演化与构成：
先观察图形的演变：
因此，可以可还原成原图求解：
还原1：显然可以勾股定理，求得：
即(x－2)2+(x－3)2=(2+3)2
解得x1=6，x2=－1（舍去）.
还原2（变式的还原）其他解法（这里不再叙述）.
【拓展】
【例4】如图，正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．
图文解析】（1）简析：可能通过全等，得到证明，如下图示，
不难证明△ABE≌△DAF（ASA），得DF＝AE＝0.5AD＝0.5CD，因此F是CD的中点.（2）与“中点”相关的常见辅助线：倍长对应线段，或因ABCD是正方形，因此延长BF或AF，可达到同样的效果），如下图示：通过全等，不难得BC＝CG，同时∠ADG＝1800，得到A、D、G三点共线.由于BM=DM+CD，BC＝CD，所以BM＝DM+BC＝DM+DG＝GM．如下图示，进一步，得到： 不难得：∠MBC＝∠AMB＝∠MBC+∠G＝2∠G.同时，不难证得△ABE≌△DGF（SAS），得∠G＝∠ABE.综上，∠MBC=2∠ABE．
当然也用如下的办法（类似上面的分析，下面只给出图解）：
【反思】从解析过程中，还能得到MF⊥BF这个结论.解答中还充分运用了等腰三角形的性质.
【拓展1】如图，正方形ABCD中，E为AD边上的点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．求证：∠MBC=2∠ABE．【拓展2】如图，正方形ABCD中，E为AD边上的点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有FM⊥BF．求证：∠MBC=2∠ABE．
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