学数学难道离不开掰手指头？ 是的！

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学数学难道离不开掰手指头？ 是的！

作者  |  赵晴

我读研究生的时候，做过一次教学试验，让一个美国一年级小男生计算一下6+7=？。看了看这个题目，小男生从容的把一只脚从课桌下面掰上来，脱掉鞋，甩开袜子，然后从手指头数到了脚趾头。

提问：作为家长的你，会如何评价这个小男生？

学数学难道离不开掰手指头么？这是让很多家长头疼的事情。孩子会不会产生依赖？会不会导致无法提高计算速度？这么算会不会太幼稚太初级呢？

这之后的若干年，项目组的同事们每次回看这段视频，都忍不住哈哈大笑。从数学教育的专业角度，我们其实是这么评价和分析的：

第一，他能马上判断出答案应该在10-15这个区间内（因为他脱且只脱了一只鞋）说明他具有不错的数感；

第二，他知道在运算的过程中借助身边的工具，把一个抽象的算式具体化。

小学数学的学习离不开数感的培养，而数感的培养离不开工具的使用 。那么，

到底什么是数感？

手指头到底能不能用？

手指头怎么用才好？

1.    什么是数感

在小学的数学教育中，不论中国还是美国，数与计算都是教学内容中的主要部分。而这部分都是建立在良好的数感基础上的。所以，什么是数感呢？

数感这个词，是从英文词组number sense直接翻译过来的。它的意思很宽泛，指的是孩子可以灵活机动的使用数字。根据美国数学教师委员会（NCTM，National Council of Teachers of Mathematics）的定义，数感应该大致包括以下几个方面：

-了解数字，以及不同的数字的表示方式

-了解数字之间的关系，以及我们的数字体系（比如十进制或二进制）

-了解不同的运算，知道不同运算之间的关系

-可以在现实生活中使用数字

数感是如何培养起来的呢？认知心理学普遍认为，当孩子还很小的时候，就能通过日常生活经验积累起对一些数学性概念的直观感受，比如大小，多少，前后，高矮，远近。

全家喝汤需要几把勺子？今天有客人，需要增加几把？从家到学校需要多长时间？ 买一个玩具大概需要多少钱？ 这两把香蕉哪个更多，多多少？

这些对话让数学成为孩子的日常生活中不可缺少的一部分。进入学校后，在这些数学对话的基础上，孩子要开始学习一系列正规的数学表达方法，十进位，加减乘除运算（竖式），数量的拆分和整合，加法结合律、加法交换律、乘法分配率，小数，分数，百分比，比例等等。

数感还包括，孩子知道6+17，17+6，16+7都是一样的，并且能用自己的语言说出为什么一样；4个15比50要大，为什么；一个电梯里大概能塞下多少人，这么多人排队我们需要等几趟电梯，等等。

但是需要注意的是，很多家长或多或少有一个错觉，那就是，正规运算是更高级的数学，一旦孩子开始学习，日常生活中的数学对话就落后了，低级了，也没有必要了。取而代之的，是习题，是熟练度，是反复练习。总之，孩子的数学学习就应该交付给学校的模式。

按照这个思路，掰手指头显然不够高级也不够正规。总靠掰手指头做算数怎么能熟练掌握数学原理呢？家长会有这个担忧。

2. 手指头到底能不能用？

答案非常简单粗暴: 能！不仅能用，还应该鼓励用。为什么？

图片来源：www.theatlantic.com

先看看人类计数的历史。

首先，一起来做个情境代入。假如你生活在公元前9000年的美索不达米亚（Mesopotamia），是个牧羊人。你需要每天把羊群放出去吃草，晚上弄清楚是不是每只羊都回来了？可是，糟糕的是，这个时候还是新石器时代，数字还没有发明，更没有什么计数的体系。换句话说，你还不会数数这回事呢。这个时候你应该怎么办？

你可能会想到几个解决方法：

方法 1:  你从四面八方找来很多石头块，打开羊圈放羊群放出去吃草的时候，每当一只羊从你身边经过，你就堆一块石头到羊圈门口，直到堆成一个石头堆，剩下的石头块都丢的远远的不再用。晚上羊回来的时候，把石头堆里的石头一块一块搬开，如果最后一块都不剩，你就知道一只没少全回来了。就用石头数羊法，日复一日，循环往复。

方法 2:  找来一个树桩子，早上羊群经过你身边的时候，看到一只羊就在桩子上画个细道；晚上羊回圈的时候，回来一只就在细道旁边画个圈；第二天早上，每个圈旁边再划个道，就用树桩子划线圈法数羊，日复一日，循环往复。（当然，写不下的时候要换树桩子）。

这两种方法都有一个共同点，都是用一一对应的方法来记录羊群的数量。一块石头，一个细道道，或是一个圆圈对应一只羊。仔细想想，你会发现，这其实跟孩子用手指头数数是一个道理——每一个手指头对应数字“1”所代表的数量。

当孩子对抽象的阿拉伯数字还不够熟悉的时候，他们需要一切方便易得的工具来协助记录数量和数量的变化。就像这个人类早期文明时期的羊倌一样。（为什么阿拉伯数字是抽象的？点击这里阅读“数学战争”）。对孩子而言，还有什么比手指头更简单更顺手的工具呢？

从人类计数发展的历史来看，用手指计数是再正常不过的，甚至很多专门研究计数发展史的学者认为，人类最早的计数方法就是利用手指头计数。

在这之后，才逐渐出现岩石刻道，然后这些道道被分成几个一组。再然后才出现进位机制，再以后的十进制，直到阿拉伯数字从印度传到西方，现代数学的符号基础才逐步稳定。

注意观察的话，你会发现这种分组方式是以8为单位。

每一个阿拉伯数字都是一个抽象的数学符号，孩子要经过相当长一段时间才能逐步把这个符号和它背后代表的数量结合起来。而在此之前，用手指头帮忙计数是个自然而然，简便易行的方法。

再听听脑神经学家是怎么说的。

2015年的一个神经学研究中，学者Llaria Berteletti 和James R. Booth对人的大脑进行了分析。他们发现，大脑中的某一个特定部分是可以“看到”我们的手指的。8-13岁的学生做减法题目的时候，他们大脑的这个部分就会点亮，即使没有掰手指头。

其他的学者还发现，一年级的孩子如果手指用得很熟练的话，二年级时候的数量比较和估算能力也会更强。当研究者们训练6岁的孩子有一些“手指头意识” 的时候，孩子不仅仅提高了算数能力，而且未来数学学习成功的可能性也更大。

当然，这些研究并不是说掰掰手指头，孩子就能开启神秘的大脑能量。而是说，在适当的阶段，当孩子需要的时候，给孩子一个天然的、人类使用已久的计数工具，从长远看来，这么做对孩子的数学学习是有帮助的。

最后参考一下数学教育专家的意见。

斯坦福大学的Jo Boaler教授常年致力于改善美国小学生的数学学习体验和效果。她在研究中发现，手指辅助运算能够帮助孩子更好的学习数学。她认为，使用手指在教会孩子基础概念的时候至关重要，而且也和孩子今后的数学IQ有相关性。而强行禁止孩子使用手指辅助运算，很可能对他们的数学能力发展造成伤害。

对于刚刚开始接触正规数字的孩子来说，手指头是一个桥梁，一个过渡。“手指头是我们最有用的视觉辅助系统，对于提高数学理解能力，大脑发展都至关重要。这个作用还会一直延续到成年之后。”

“当学生不擅长死记硬背，或者数字使用不太熟练的时候，往往会找到视觉的或者其他的辅助工具。而这一点，让我们很多最伟大的科学家比如爱因斯坦和爱迪生，在小时候被老师认为是愚蠢的。”

总结一下：到底能不能掰手指头。

孩子做算数的时候能不能掰手指头？

能。

孩子是不是一定要掰手指才能学好数学？

不是。但脑神经研究结果表明，手指的训练和使用有助于大脑的发展和数学能力的培养。

会不会造成依赖？

不会。这只是个过渡。随着理解的深入，自然就会放弃不用。你会走了之后还用爬么?

我小时候没用也学会了啊。

1.    你小时候没用不代表你孩子就不能用。你小时候还不用互联网呢。

2.    你小时候初学数学的痛苦你可能已经不记得了。

能不能让孩子戒掉？

你可以试试。这么做的后果有以下一个或几个。

1.    孩子在你不在的时候偷偷用，或者干脆改用计算器。（顺便说一句，我个人不主张小学生使用计算器，除非是特别设计的课堂活动。关于为什么小学生最好不用计算器，下一期问答专栏我会回答）

2.    孩子的运算速度和准确度会下降。

3.    孩子会对数学产生畏难情绪，如果不及时调整，会影响学习数学的兴趣。

4.    家长提供其他替代工具，孩子慢慢放弃使用手指。

5.    当然，还有一种可能，你的孩子轻松戒掉掰手指（或者根本不需要），因为他/她在数学方面有天分。

3.    手指头和其他工具应该怎么用？

现在你应该不纠结能不能让孩子掰手指了。下面的问题是，手指头或者其它工具，应该怎么用呢。

这里又涉及到数感的概念。数感不是简单的数（三声）数（四声），而是知道数“量”的变化是怎么来的，是去了解一种数量变化的因果关系。单纯靠死记硬背背熟9X9乘法表，或是熟记圆周率小数点之后100位，跟数感都没有关系。

在培养数感的过程中，有两个能力是非常重要的，那就是观察数量的规律(patterns)和对数量进行分组(grouping or partitioning)。

比如下面这张图，四个网球拍，爸爸妈妈可以问小朋友，这图片里面有几根球拍？

他们会说4个，这时你就可以问他们，你们是怎么知道这是四个球拍的啊？

他们这时可能会说，2个+2个=4个

也有可能会说，这是1个+1个+1个再+1个。

那么两个方法比较起来，就会发现很显然2+2，比1+1+1+1更先进。为什么更先进了呢？因为这个方法更高效。能够一眼看到图中有两个2，把视觉画面和数量多少建立直接的联系，简单说来，这就是观察数量的规律（patterns）。

再比如下面这张图，小朋友会从图中看到了哪些数量之间的关系呢？一眼看上去，最直观的可能是5+3=8；如果再花点时间，给与点引导，小朋友可能看到8+2=10，甚至10-2=8。

接触更多的数量变化之后，孩子还会知道5+5=10，7+3=10；甚至可以推导出一系列其他的方法来得到10这个数字。能灵活的把10分成8和2，或者分成7和3，甚至5+3+2，这就是我们说的对数量进行分组（partitioning）。

最初的数感的建立，都需要经过从具体到抽象的过程，数学学习离不开构建一个数学形象。与其让孩子用抽象的算式来表达？＋？＝8，不如给8个香蕉（或者8个任何东西），问问他/她，应该怎么在两个小朋友之间分这8样东西，有多少种分法，哪种分法你最喜欢，为什么。

多问开放性的问题，同时给孩子机会，让他/她说出自己推理思考的过程，这比每天压着孩子做10道四则运算题更能激发数学学习的热情。

所以，手指头能帮助孩子看到什么样的数量规律patterns，又能帮助做哪些数量划分partitioning呢?

提问：你有没有想过，我们的十进制是怎么来的？

提示:  掰掰手指头你就知道了。

是的，我们的手上，写满了人类数学发展的历史。玛雅人的20进制，其他古代文明的12进制，到我们现在用的十进制。利用10个手指头，除了可以清晰的表达出1-10的不同数量之外，我们可以帮助孩子迅速的认出每个数量所对应的手指规律。比如，5就是一只手的全部手指，6就是一只手加一根额外的手指。

利用两只手，我们可以演示10=？＋？的各种方法。每一种方法，都是对10这个数量的一次重新划分，而我们可以把这个划分过程用手指头演示出来。

更高级一点，有没有想过超过10的数字怎么办？18应该怎么表示呢？最简单的方法，我们可以把脚趾头一起算上，就像我们文章一开头，那个从容脱掉袜子的小男生一样。

跟他不同的是，我们可以跟孩子约定，每当我们凑够10根手指头的时候，我们就用1根脚趾头来标记。手脚并用，我们可以有各种数字游戏出来：比大小，猜数字，凑100。在这样的游戏过程中，你在传达一个更为重要的数学概念，10进制。

当孩子通过掰手指头对于数量有了进一步的深入的了解，把在具体的数量（几根手指头）和对应的阿拉伯数字之间建立起更坚固的关联之后，他们自然而然就会降低对手指头的依赖，学会了更快更高效的方法，谁还会抓住笨办法不放呢？

在这个过程中，家长当然也可以给孩子提供其他的替代性的工具，辅助孩子的计算。比如家里的生活用品，牙签，米粒，火柴，或者是一些简易好用的数学工具，比如可以拆卸的塑胶粒。

塑胶粒的好处是，我们可以随时组装出5，8，10，和他们的不同构成形状，让孩子们对于数量的样子和规律有进一步的理解。

我们将在下一篇数学教育的文章中，讨论更多的手指游戏做法，以及其他有助于培养孩子数感的家庭数学游戏。

4. 写在最后

今天说了好多次手指头，连脚趾头也出现了几次，说这些，不仅是因为这是个常见问题，更重要的是这背后的观念对孩子造成的影响。

从人类早期文明的牧羊人，到高科技时代的孩子们，使用形象、便捷的工具去理解和运用数字，是一以贯之的，也是很自然的。我们需要看到，从日常生活中的数学对话到学校学到的正式数学符号中间，还隔着很长一段的学习距离。在这个过程中，深度比速度更重要。多问问孩子why和how的问题，比知道答案是几更重要。

上了初中后，正常情况下，所有的孩子都能熟练掌握四则运算。回看小学阶段家长和孩子为了数学的着急上火, 那些都成了云烟。但是，虽然知识都能掌握，但是孩子是如何掌握四则运算的，四则运算对于他们意味着什么，往往决定了他们今后对待数学的态度。

 对于父母而言，帮助孩子学好数学的第一步，是破除自己的数学迷思，给孩子提供他们所需要的辅助和过渡，从乐见孩子掰手指甚至脱掉鞋子掰脚趾开始。

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