StatQuest生物统计学 - FDR及Benjamini-Hochberg方法
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FDR是为了控制多重比较中大量升高的假阳性概率FDR可以起作用的原因在于同一总体和差异总体的p值分布不同执行FDR的一个例子——Benjamini-Hochberg方法
FDR(false discovery rate)是一个在统计学中熟知度不是太高，但是很重要的一个概念。很多的生信软件都在使用FDR对可能出现的大“假阳性”概率进行控制，比如RNA-seq的差异表达分析中，adjust p-value（padj ）其实就是经过FDR校正的p值，chip-seq的经典call peak软件macs2里面有一个参数-q，其实-q就是指定的FDR cutoff值，等等。
那么FDR目的何在？
FDR是为了控制多重比较中大量升高的假阳性概率
FDR就是为了控制多重比较中出现的假阳性概率。众所周知，统计推断会有一定的假阳性，它和α值相等，一般是5%，一般情况下5%都是可以接受的假阳性值。
但是在高通量测序分析中，由于多重比较的存在，假阳性率会急剧升高。举例来说，假如一次RNA-seq需要比较10,000个基因的表达量有无差异，那么就会有10,000次统计推断，也就会有10,000*5%=500次的错误机会。而这10,000个基因不可能都是差异基因。假设有5000个基因是差异基因，假阳性率就是500/5500=9%，阳性率约升高了2倍。而实际情况下，真实差异基因远没有这么多，假阳性率只会比这个9%更加恐怖。
而FDR就是为了控制假阳性率升高而出现的的一种理念，它其实包含很多种校正方法，很常见的一种方法是Benjamini-Hochberg方法。
那么FDR是怎么发挥作用的？
FDR可以起作用的原因在于同一总体和差异总体的p值分布不同
首先先看一下抽样分布情况，模拟两种抽样方式：（1）从同一个正态总体中，抽样20000次，2次一组进行t检验，记录此时产生的10,000个p值；（2）从不同正态总体中，各抽样10,000次，2次一组进行t检验，记录此时产生的10,000个p值，那么这种抽样的p值分布如下：
来自于同一正态总体的p值，在0-1之间均匀分布，其中假阳性概率约为5%；
来自于不同正态总体的p值，在0-1之间偏态分布。
所以我们明白了来自于同一总体和来自差异总体的p值的分布是不同的，一个是均匀分布，一个是偏态分布。
假如我们将上述的两个模拟实验的p值组合成一个新的模拟实验，共有20,000个p值，那么结果就会如下图所示，在最左侧的柱子（p<0.05)中，会有大量的假阳性（红色）。而其p值分布就是组合了两种抽样的特点：右侧基本上呈均匀分布，而左侧呈现偏态分布。
假如按照右侧均匀分布的趋势，将其应用到左侧，那么基本上就可以很好地区分开左侧的真阳性和假阳性。而这个思想就是FDR可以控制假阳性的原因。
不过一般情况下，我们更关注的是p<0.05的情况，将上图中最左侧的柱子打开后，如下图所示，依然保持同样的左偏态右均匀的分布。
执行FDR的一个例子——Benjamini-Hochberg方法
Benjamini-Hochberg方法其实很简单，计算也不繁琐，只需要2步即可：
将所有的p值按照大小顺序进行排序；
从最大p值开始计算，最大的数值没有变化，
剩余adj p.val计算方法为
其中，rank of p.val是每个p值的秩，Max rank是最大秩。
以下图中数据为例，首先将p值按照大小进行排序。
然后，从0.91开始计算，0.91保持不变。
如此一个FDR过程就完成了，原本显著的0.01变为0.1，不再显著。基本上一个FDR过程可以很好的将假阳性概率维持在0.05（根据α值而定）。
其实在RNA-seq的差异表达分析中，不只是使用FDR控制假阳性，还会有Independent Filtering（独立筛选）去降低假阴性，而FDR并不能控制假阴性，反而会加重假阴性，错失很多差异基因，例如DESeq2和edgerR都有Independent Filtering过程，为何会这样？请见StatQuest生物统计学 - Independent Filtering。
参考资料
StatQuest课程：https://statquest.org/video-index/
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