欲学相对论需要哪些物理数学的预备知识？| 贤说八道

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一个作者最不道德的地方是，抄录许多自己也不懂的（其实不懂不丢人）东西却予读者以他很懂的样子，这让读者产生很强的挫折感——读者会觉得连那个作者都不如，真的是没脸活了。各种量子力学教科书中对氢原子薛定谔方程解的介绍，就反映作者的道德水平。

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

相对性首先是一个原则，一句话就可以说清楚。恰恰因为相对性是个原则，相对论涵盖的物理对象是笼统的、广泛的，进而它对数学的需求也是广泛的。虽然相对论和量子力学并称现代物理两大支柱，其实相对论的层面要高于量子力学，故有相对论量子力学而没有量子相对论。相对论的（relativistic）作为前缀可加于诸多特定物理主题上，比如相对论动力学，相对论量子场论，相对论热力学，等等。至于它所需要的数学，那更是种类繁多，广义相对论甚至会是数学的生长点。本节开列的相对论预备知识仅是笔者所知的一点浅薄，聊供参考。至于多少预备知识够用，这取决于欲学相对论者对自己的要求。当然，知识不是单连通的结构，我们永远不能指望拥有学习一个具体领域的全部预备知识。反复地、交叉地学，可能是我们智力一般的人所不得不采取的策略，而你需要的是学会乐在其中。

相对论的物理基础

爱因斯坦的狭义相对论始于1905年，广义相对论初成于1915年。那个时候，牛顿的引力理论、哈密立顿的动力学理论、光学、电磁学和电-动力学已趋成熟，而这些可看作是理解狭义相对论的物理基础。运动物体的电-动力学（包括光发射和光吸收）研究是狭义相对论的起源，也是爱因斯坦对奠立量子力学有贡献的地方。光（子）和电子一直是狭义相对论和量子力学的主角，到了广义相对论，引力也成为了主角。当外尔将电子和引力当成一对主角时，规范场论就孕育了。广延物体的动力学，包括（电磁）流体力学和固体力学，是相对论尤其是广义相对论的基础，质能关系、能量-动量张量、引力场方程在广延体系的动力学基础上才能充分理解。

相对论的数学基础

多种坐标系表示，坐标变换，线性代数，矢量分析，微分二次型，微分，变分法，洛伦兹变换，电磁场的张量表示等等，是狭义相对论常用到的数学内容。广义相对论相对要求高一些，建议读者熟悉如下一些数学分支或者概念：曲线坐标系，非欧几何，微分几何（关注曲线、曲面、度规张量、里奇张量、联络、测地线和平行位移等概念），方向导数，微分方程，群论 （洛伦兹群，庞加莱群，李群与李代数），张量分析 （关注度规张量、曲率张量与能量-动量张量；张量的仿射微分、协变微分与李微分），等等。

值得着重强调的是力学之与变分原理有关的拉格朗日表述（Lagrangian formulation）。由拉格朗日量（密度）出发构造作用量，由最小作用量原理通过变分法获得系统的动力学方程，即欧拉-拉格朗日方程。这是一个普适性的物理学研究方法。

数理从来是一家。学习相对论为数学-物理一起参详提供了绝佳的机会，值得我们珍惜。从物理背景出发，牢记其中的物理图像和物理思想，估计对学习数学和物理非常有用。笔者当年学数学物理方程，老师和教科书都只会简单地罗列方程的解，丝毫不谈问题的来处和解法的来处。等到有一天明白那些著名的微分方程大多不过是在不同坐标系下的不同维度的二阶微分算符的本征值问题时，笔者是欲哭无泪。早有人点拨一句，该少让我受多少年的难为啊。一个作者最不道德的地方是，抄录许多自己也不懂的（其实不懂不丢人）东西却予读者以他很懂的样子，这让读者产生很强的挫折感——读者会觉得连那个作者都不如，真的是没脸活了。各种量子力学教科书中对氢原子薛定谔方程解的介绍，就反映作者的道德水平。当我有一天知道其实薛定谔本人，科学家中为数不多的知识分子，维也纳大学的数学物理教授，也不会解时，我心里感到好受多了。薛定谔方程用于氢原子，那解应该是外尔帮忙才得到的。 

参考文献

[1] Arthur S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press （1930）. 

[2] Anadijiban Das, The Special Theory of Relativity: a Mathematical Exposition, Springer （1993）.

[3] R. K. Sachs, H. Wu, General Relativity for Mathematicians, Springer （2012）.

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