幸亏我们是生活在三维空间中​：空间维度、数学与物理现实的巧合丨贤说八道

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我们生活在一个三维物理空间里，这看似很偶然，可是用拓扑学、几何学、量子力学、几何代数什么的随便那么一想，发现可能是必然的哦。

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

道生一，一生二，二生三，三生万物。

——老子《道德经》

有些事儿，不能细想，细想起来能把自己吓一跳，比如我们的物理空间是三维的这件事儿。我们的物理空间是三维的，这个认识来自人类对运动自由度的感知。运动起来有三个自由度，曰上下、曰左右、曰前后，这一点地球人都知道，而且很早就知道了。德国文学家席勒（Friedrich Schiller, 1759-1805）谈空间的维度竟然会借俺们中国的孔老夫子之口，用Sprüche des Konfuzius (孔夫子的箴言)为题诌了几句诗：

Dreifach ist des Raumes Maß (空间的尺度是三重的)

Rastlos fort ohn' Unterlaß (不停地向远处延展)

Strebt die Länge fort in's Weite (长度绵延不断)

Endlos gießet sich die Breite (宽度无边)

Grundlos senkt die Tiefe sich (深度无底)......

这意思是说，我们的物理空间是三维的、无限的，可以用R³表示，R代表实数。文学家体认到的物理事实，都是坚实的物理事实。

那么，问题来了，为什么我们的物理空间是三维的呢？或者说，我们的物理空间是三维的有什么特别的益处或者讲究吗？

一个不假思索就能得到的答案是，空间的维度应该足够多，而从三开始才能算多。在中文里，三人为众，众人的人数就是不定的 (indefinite) 了，而在一些太平洋岛国的文字里，数字干脆就只有一、二、多。这说明三就给人以足够多的感觉了，不过这么解释不够科学。科学点儿的论证可以以拓扑学的面目出现。假设我们认定生命遵从热力学第二定律，需要摄入物质以维持其有序结构，用大白话说就是生命的具体过程至少要包含吃喝和拉撒这两种功能。从空间的角度来看，我们假设从吃喝所需的入口 (inlet) 到拉撒所需的出口 (outlet) 的连接 (connection. 不懂这个词不足以谈广义相对论和微分几何) 是个一维的结构 (D=1，不能再少了)，那么能够承载这个一维结构的结构就至少是三维的。在二维空间里，一个有限大小的生命个体如果要建立起一个从其表面上一点 (作为入口) 到另一点 (作为出口) 的连接，则这个连接会硬生生地把它剌成两半儿 (图1)。这说明原来说它是一个有限大小的生命个体的假设不成立。容许生命出现的空间至少应是三维的， D_min=3。QED！

图1. 二维空间里的有限生命无法建立起从其表面上一点到另一点的连接。

物理的空间维度可以更高吗，比如D=4？或者，既然自然选择了D=3 ，那有什么令人心悦诚服的讲究呢？笔者顺着这个思路一想，发现还真有。容笔者声明，如下论证用的是科学且论证过程貌似科学，但论证过程未必严格。

首先，有等式 3-2=1，和 3=2(2+1)/2 。这是想说什么呢？这是想说弯曲流形在平直空间里的镶嵌问题。对于任意的一个n-维的黎曼流形 (简单地理解为光滑的物体就行)，施莱夫利 (Ludwig Schläfli, 1814-1895) 于1873年猜测其一块有限区域（原则上应假设其是弯曲的）的展开铺平一般要求一个 n(n+1)/2 维的镶嵌空间。我们假设这个关于镶嵌空间维度的最低要求是正确的 (有兴趣的读者请去研究纳什镶嵌定理)。至少对于二维流形，比如球面，确实能够在三维的平直空间里展开铺平。这意味着，在三维空间里生活的我们，能用平直的皮革去缝制球面。此外，注意，3-2=1， 二维弯曲流形放在三维平直镶嵌空间里，还有一个自由度的冗余，可以用于产生形变。这提供了驱动球类运动起来的可能性 (图2) 。这个物理空间是三维的事实保证了我们能制作球且能享受各种球类运动的欢乐。如果物理空间是四维的，二维的球面当然可以镶嵌入四维空间了，在其中还可以有两个自由度的驱动。这下麻烦了，四维空间里的二维球面运动会很复杂，估计绝大部分人就玩不来了——三维空间里还有人玩不来球 (面) 呢。没有球类运动的世界里人类如何生存，难道让大家整天研究几何不成？

图2. 三维空间里可以有一般拓扑意义上的球，还留出个自由度供其形变。

再从量子力学的角度思考物理空间的维度该是多少。考察一个各项同性的源，管它发出去的是什么东西。在远离源的地方，这个发出去的东西的浓度就和在那个距离上以源为中心的球面之面积成反比。在三维空间中，球面的面积为 S=4πr² ，故该源发出的东西在距离r处的浓度就满足关系式   (图3)，你也就明白了我们的牛顿万有引力公式  和库仑公式  是怎么回事儿了。这两个公式是一样的，都是来自物理空间是三维的这个事实，只是年代不同未能写成同样的形式——你要注意到电荷有极性而质量没有极性你就能忽然明白点儿什么。这个不用管，这个   的关系才是重要的。

现在考察氢原子体系的量子力学问题。库仑力  对应的静电势能形式为  ，故氢原子的哈密顿量为 。在球坐标下，作为本征值问题的量子力学要求的波函数，其解形式上可写为 ， 其中的球谐函数 (球装配函数，即可用来装配出球形的函数！)  是角动量算符的本征函数，径向函数  是方程  的解，可解得能量本征值为  ， n=1, 2, 3…。这个七拼八凑最后得到的能量公式能完美地解释氢原子的光谱，让人愿意相信它是正确的。

图3. 三维空间里点源发出的东西之浓度与距离的关系示意图

好了。上述解的过程中引入了三个量子数（nlm） ，加上自旋量子数m_s (也是源于空间是三维的事实，见下)，共是四个量子数（nlm; m_s）。这四个量子数的取值规律，使得对给定的n，（nlm; m_s）的组合共有 2n² 个可能 (细节请读者自行补足) 。2n²=2, 8, 18, 32(=18+14),…，这解释了元素周期表的长相 (图4)。

那么，如果空间不是三维的，而是比如说四维的，这氢原子的量子力学问题会是怎样的呢？在四维空间里，球面的面积为 S=2π²r³，氢原子的哈密顿量为 ，在这种情形下，连哈密顿算符H是否是自伴随的，以及能量是否有下界，都是个依赖力常数k大小的问题。能量本征值的解析解没能得到，想得到一组量子数来解释元素周期表那更是没指望了！设想一下，在四维空间中生活的智慧生命面对一堆元素给列出了个周期表却找不到理由，那得多闹心？

图4. 一组量子数（nlm; m_s）的取值规则解释了元素周期表的长相

既然说到了自旋，就不得不谈谈转动问题了。我们熟悉的角动量、自旋都有三个分量，还构成李代数， ，，这些都和物理空间是三维的有关。

我们知道二维空间的转动可以用复数 z= x+iy 以乘法来表示，也可以用实 2×2 单位矩阵  以乘法来表示。对于三维空间里的转动，哈密顿 (William Rowan Hamilton, 1805-1865, 就是哈密顿量的那个哈密顿) 试图引入 w=x+iy+jz 形式的数 (triplet) 来描述，发现这种数乘法不封闭。此路不通。1843年，哈密顿灵机一动引入了四元数 (quaternion)， Q=a+xi+yj+zk ，其中 i²=j²=k²=-1，ij=-ji=k 。所谓的 ij=k 反映的就是我们所说的右手定则，自然是关于转动的。按照哈密顿的理解，四元数里的 a 是标量 (可以拿去对应时间以发展几何观点下的相对论)，而 v=xi+yj+zk 就是我们熟知的三维空间里的矢量，其转动由和单位四元数的共轭算法得到，v'=qvq*  (知道这些内容，再去看量子力学里怎么描述转动就明白多了)。看起来很完美，对不？不过这里埋了个雷。强调一句，含三维矢量(对应三维物理空间) 的四元数是可除的，而三元数、五元数，其矢量部分应该对应二维空间和四维空间吧，就不可能是可除的！不可除，那用处就不大了。

注意，哈密顿把四元数 Q=a+xi+yj+zk 里的 v=xi+yj+zk 叫作矢量，而我们用角动量、自旋描述转动，一般书里会说角动量是赝矢量。赝矢量，那是和矢量有啥不同的吧？可是，在处理转动的时候，诸多论文、教科书又让我们觉得好像是一回子事儿似的。问题出在哪儿呢？答案是， v=xi+yj+zk 根本就不是矢量，而是和角动量、自旋一样应该是赝矢量，或者用几何代数的语言，确切地说是二矢量 (bivector)。二矢量的物理历史上被误解为是矢量的物理，在三维物理空间里切实发生过，那说明这个错误是有道理的，因为 3-2=1，二矢量和矢量在三维空间里是互为对偶的。因为这个对偶关系，从前的电动力学就没被正确表示过，这也是诸多电动力学的内容越解释越令人糊涂的原因。

设三维空间的三个正交基 (矢量) 为e₁, e₂, e₃，则由其所构成的克利福德代数的八个基为1; e₁, e₂, e₃; e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁; e₁e₂e₃ ，这其中的三个二矢量 e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁ 恰好是线性独立的，且构成一个三维矢量空间。更重要、更碰巧的是，二矢量的对易式 (量子力学最讲究这个的了) 也必然是一个二矢量，这个是李代数的基础。角动量、自旋，以及未来规范场论里遇到的那些场，都是要用李群和李代数处理的。如果是在非三维空间，其二矢量的对易式就不是二矢量，估计就没有李代数和量子力学了。

上述这些内容，构成我们物理学的主要内容，其成立的前提是物理空间是三维的。有趣的是，描述其中物理所用到的数学指向了三维空间的特殊性。假设，更高维的空间就不提了，我们是生活在四维空间中的，那能否还能发展出理解这个物理世界的数学呢？以笔者的理解，那是相当地不乐观。这样想来，还真幸亏我们是生活在三维空间的。

有善于抬杠的读者也许会说，四维物理空间的智慧生物所发展出的数学，也许是指向四维空间才是合理、碰巧得丧心病狂的呢？谁知道呢，也许吧！

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