数学家中的长者，一生随着历史的进程而起伏
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“杜甫谓，人生七十古来稀。我们说，而今九十不稀奇。”随着科技的进步和人民生活水平的提高，当今社会的寿星越来越多，其中不乏各行各业出类拔萃的人物。例如几年前作古的，被部分媒体称作“汉语拼音之父”的周有光（1906-2017），享寿111岁1天。还有不久前仙逝的，第一位在《数学年刊》发表论文的中国女数学家，浙江大学教授朱良璧（1913-2019），享寿108岁。
说到高寿的数学家，朱良璧先生还排不到第一。据笔者所知，数学家中的长寿冠军，当属奥地利数学家维托里斯（Leopold Vietoris，1891-2002），活到110岁309天。他是有确切记录的最长寿的奥地利人，一生跨越三个世纪，亲身经历了两个帝国的灭亡。他本人也是一位非常有成就的数学家。
维托里斯并不是一个家喻户晓的名字，但学过同调论的人应该都很熟悉。以他名字命名的迈尔-维托里斯正合列（Mayer-Vietoris sequence），是同调论里最基本的结果之一，计算同调群时几乎必然会用到。事实上，维托里斯的数学工作远不止于此，他在点集拓扑、代数拓扑、函数方程与差分方程、概率论、特殊函数、应用数学等领域都有重要贡献。
1994年，在他103岁的时候，维托里斯还发表了一篇单独作者的关于三角和的论文。这篇论文中证明的定理让特殊函数领域的顶级专家、美国科学院院士阿斯基（Richard Askey，1933-2019）大为吃惊，（阿斯基的原文是“a great surprise”，）以至于他专门写了一篇文章加以讨论。
维托里斯1891年出生于哈布斯堡-洛林王朝统治下的奥匈帝国。1910年，他进入维也纳工业大学，打算成为一名工程师。然而，他很快发现自己对数学更感兴趣。除了本校课程之外，他还在维也纳大学选修了许多数学课，尤其是接触到了点集拓扑学的前沿。
1914年，第一次世界大战爆发，维托里斯被征召入伍并在战斗中负伤。1918年11月3日，解体中的奥匈帝国与意大利签署了停战协定。次日，停战协定生效，将近50万奥匈帝国军人成为意大利人的俘虏，维托里斯也在其中。
有一个关于意大利战俘营的段子：一个英军飞行员被意大利抓获，投入战俘营。然后晚餐是包含前菜、主菜、水果和红酒的豪华料理。然后第二天，一个意大利军官前来致歉：“昨天我们犯了一点小错误，给身为将校的阁下提供了一般士兵的晚餐。这绝对不是有意怠慢您……”
然而，段子仅仅是段子。虽然战俘营里的待遇不差，但一下子要给50万人管吃管住也不是一个容易的任务。战俘营中的生活，当然没有段子中描述的那样美好。绝大部分战俘只能住在帐篷里，住宿条件在当时各国的战俘营里都算是比较差的。物资供应更是谈不上充足：未来创办《数学文摘》（Zentralblatt MATH）和《数学评论》（Mathematical Reviews）这两大数学文献检索系统的诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer，1899-1990），此时只能和他的难友维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）共用一支铅笔。
关押奥匈帝国战俘的意大利战俘营丨图源：icrc.org
维托里斯在战俘营里待了9个月。利用这段难得的平静时光，维托里斯把他关于点集拓扑的思考总结出来，完成了一篇论文。（更多类似的事例，可参见《战俘营里的大学》一文。）1919年12月，维托里斯把论文提交给维也纳大学作为自己的博士论文，并在次年获得博士学位。这篇论文堪称点集拓扑的奠基性文献，像“收敛”、“紧性”这些基本概念的现代定义都是其中给出的。
1922年起，维托里斯在维也纳大学任教。1925年，他获得洛克菲勒奖金，得以前往荷兰阿姆斯特丹访问三个学期。在那里，他参加了布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer，1881-1966）组织的讨论班，学到了新兴的同调论，于是将自己的研究方向转移到这一领域。
同调论是代数拓扑学的一个主要分支。简单来说，同调论就是数一个几何对象里有几个洞。下图是一个广为流传的脑筋急转弯问题，据说幼儿园小朋友答得出，但是成年人答不出。
图源：TVBS
答案是5，因为等号右边表示的是等号左边总共有几个圈。用数学语言就是要计算这个图形的一维同调群。有n个圈，一维同调群就是Zn。（严格来说，如果采用同调论的观点，等号左边数字4的图像应该使用手写体，这样4里面就没有圈了。）
类似地，高维同调群大致可以看作是数高维“洞”的个数，这个数叫做贝蒂数（Betti number）。然而，贝蒂数还不能反映同调的全部信息。同调论的创始人庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）发现，同调的信息里还包含一些被称为挠数（torsion number）的整数。1925年，埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）在一篇仅有14行的短文里指出，同调的信息应该包含在一个阿贝尔群里。贝蒂数就是群的秩，而挠数就是挠子群的阶。诺特的深刻洞见将同调论代数化，同调群成为同调论研究的核心。
诺特的短文
在当时，对于同调群的计算，除了直接从定义来算，没有什么好办法。一个基本的问题是，把一个拓扑空间划分为两个子空间，怎样从子空间的同调群得到原来的全空间的同调群？如果这个问题得到解答，人们就可以把一个空间划分为若干“简单”子空间，其中每个子空间的同调群都能算出来，然后逐步算出越来越复杂的空间的同调群，直至得到全空间的同调群。
维托里斯猜测出了这一问题的答案，并且产生了如何解决问题的想法。回到维也纳大学后，维托里斯开始讲授他新学到的同调论，台下的一名听众是他的新同事迈尔（Walther Mayer，1887-1948）。迈尔也是一战退伍军人。作为犹太人，他很难在大学找到教职，过了几年颠沛流离的生活。在爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）的推荐下，他于1926年当上维也纳大学的讲师，从而有机会旁听维托里斯的课程。维托里斯把他关于前述问题的想法都无私分享给了迈尔。
年轻时的维托里斯丨图源：MacTutor History of Mathematics Archive
采用跟维托里斯略有不同的方法，迈尔找到了这个问题的部分解答，即如何计算全空间的贝蒂数。他在1929年发表了他的解答。维托里斯本人则根据自己的原始想法，在1930年发表了完整的计算全空间同调群的办法。1952年，艾伦贝格（Samuel Eilenberg，1913-1998）和斯廷罗德（Norman Steenrod，1910-1971）定义了“正合列”这一概念，并把迈尔和维托里斯的定理写成我们今天所看到的正合列的形式，命名为迈尔-维托里斯正合列。
迈尔和维托里斯只当了一年同事。1927年，维托里斯前往因斯布鲁克大学任教。1928年，他到维也纳工业大学担任正教授，但在1930年又回到因斯布鲁克大学。二战期间，奥地利是纳粹德国的一部分。维托里斯在波兰战场上服役过两年，并再度负伤。除此之外，他的漫长余生都是在群山之间的因斯布鲁克度过。
迈尔则从1929年起担任爱因斯坦的数学助手，得到了“爱因斯坦的计算器”这一雅号。几年之后，迈尔将在科学史上的一个重要事件中起到关键作用。当爱因斯坦准备到美国定居时，他要在普林斯顿高等研究院和加州理工学院之间二选一。普林斯顿可以给迈尔提供一个长期职位，而加州理工学院的经费不足以雇佣迈尔，于是爱因斯坦最终选择了普林斯顿。在一封给加州理工学院校长密立根（Robert Andrews Millikan，1868-1953）的信件中，爱因斯坦解释说，迈尔的辅助对他是如此重要，以至于他必须压制所有其它的考虑（“I must suppress all of my other considerations”）。1933年，迈尔和爱因斯坦一起加入普林斯顿高等研究院，在那里工作直至去世。
不过世事难料，迈尔到普林斯顿没多久，便不愿意再追随爱因斯坦寻求虚无缥缈的“统一场论”，回到了纯数学领域。爱因斯坦后来又陆续有好几名助手，但高研院已经没有预算给予他们长期职位。为了纾解其中一位助手英费尔德（Leopold Infeld，1898-1968）的经济困难，爱因斯坦与之合写了一本科普著作《物理学的进化》，所得的版税出乎意料地比高研院发的工资还要高出许多呢！
再回到我们的主人公维托里斯。他对同调论有诸多贡献，迈尔-维托里斯正合列只是其中最著名的一项。他的另外一项重要贡献，维托里斯复形，在被数学界遗忘了几十年后，又重新获得极大关注，可谓枯木逢春犹再发。
同调论有很多版本。最早建立的同调论是单纯同调论。在这一版本里，研究的对象是单纯复形，即由点、线段、三角形、四面体……这些最基本的“单纯形”按一定规则组成的图形。对于单纯复形，可以很直接地定义其单纯同调群。
一个三维单纯复形丨图源：维基百科
单纯同调群计算起来非常方便。然而，这一版本颇有一些瑕疵，并不适合理论研究。在上世纪二三十年代，出现了许多版本的同调论，试图将同调群的定义扩充到比单纯复形更广泛的空间。维托里斯在1927年定义的维托里斯同调就是其中之一。
维托里斯同调是对于度量空间构造的。度量空间，就是可以定义任何两点之间距离的拓扑空间。对于每一个度量空间X和一个给定的正实数r，维托里斯构造出了一个单纯复形Vr(X)。如果X中有n+1个点，它们两两之间的距离都小于r，那么这n+1个点就构成Vr(X)中一个n维单形的顶点。当r趋向于0时，Vr(X)的单纯同调群就能够给出X的维托里斯同调。
在上世纪三四十年代，维托里斯同调是每一个拓扑学家都很熟悉的内容。然而，到了1944年，艾伦贝格建立了奇异同调论。这一理论可以对任何一个拓扑空间定义，并且非常适于拓扑学的理论研究。于是奇异同调论迅速成为标准，而维托里斯同调论像其它大多数同调论一样，被人们遗忘在历史的长河中。
但这还不是故事的全部。到了八十年代，以色列数学家里普斯（Eliyahu Rips，1948-）在研究几何群论时，重新发现了维托里斯所构造的复形Vr(X)，并用它来研究度量空间的粗几何（coarse geometry）。格罗莫夫（Mikhail Gromov，1943-）在他关于双曲群的奠基性论文里将这一复形称为里普斯复形。后来人们才意识到，所谓里普斯复形，其实半个世纪前就被维托里斯构造出来了。于是在文献中经常也把它叫做维托里斯复形或者维托里斯-里普斯复形。这一概念已经成为研究几何群论和粗几何的基本工具。
需要指出的是，尽管里普斯重新发现了维托里斯复形，但对它的使用场景与维托里斯可以说是截然相反。在维托里斯同调里，参数r要越来越小，以充分反映X的拓扑信息；在粗几何的研究中，r要足够大，从而忽略掉局部的拓扑细节。从这个角度来说，把里普斯的名字加入其中是合适的。
近年来，大数据成为热点。许多类型的大数据适合用拓扑方法进行定性分析，随之发展起来的一门学科称为拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）。拓扑数据分析里的一个基本工具是数据点云（point cloud）的持续同调（persistent homology），后者可以使用经过改进后的维托里斯-里普斯复形Vr(X)来很方便地计算。“持续同调”这一名称的含义是，当r增加时，持续存在的同调群信息。基于维托里斯-里普斯复形的算法已经在很多TDA软件中得到实现。有一个TDA软件干脆起名为Ripser，以致敬里普斯。
这位里普斯后来弄了个大新闻。他与人合作用计算机研究希伯来语《圣经》，发现如果每隔n个字母跳读，就能得到对后世事件的预言。例如当n取50，得到Torah一词，代表摩西五经。当n取4772，能得到以色列总理拉宾遇刺的预言。此外像希特勒屠杀、肯尼迪遇刺、甚至新冠肺炎用这个“圣经密码”都能解读出来。当然，像大多数预言书一样，圣经密码追认过去发生的事情很成功，对未来的预言则十分拙劣。
把这一方法用于英文《圣经》，可以解读出bible code丨图源：维基百科
在科学史上，前人的工作被遗忘了很多年才被后人重新发现，这样的事例并不少。不过，像维托里斯-里普斯复形这样，从业界知名到无人问津，多年后再得到新生，此类情况还是比较罕见的。
考虑到历史的进程，维托里斯-里普斯复形的遭遇或许不算意外。拓扑结构不依赖于度量。维托里斯-里普斯复形的构造用到度量，已自落了下乘。然而，从七十年代后期开始，度量等几何学的概念大量进入拓扑学的研究，维托里斯-里普斯复形的复兴就成了自然而然的事。
另一方面，奇异同调论适合理论研究，但不适合计算。维托里斯同调虽然不适合理论研究，但却适合计算。在计算机不发达的年代，具体计算并不容易，也没有那么多计算特定复杂对象的同调群的需求。所以维托里斯同调被时代的列车抛弃。只是到了大数据时代，对大数据研究的需求与计算技术的进步结合在一起，让维托里斯-里普斯复形焕发了生机。
幸运的是，维托里斯活得足够长，使得他能够见证自己那曾被时代遗忘的理论回到数学的前沿。对于他来说，这算是晚年的意外之喜吧。
主要参考文献
[1] Heinrich Reitberger, Leopold Vietoris (1891–2002), Notices Amer. Math. Soc. 49 (2002), no. 10, 1232–1236.
[2] J J O'Connor and E F Robertson, Leopold Vietoris, MacTutor History of Mathematics Archive.
[3] Abraham Hoffman, Albert Einstein at Caltech, California History, vol. 76, no. 4 (Winter, 1997/1998), 108-121.
[4] Nathan Rosen, Reminiscences, in Albert Einstein, Historical and Cultural Perspectives: The Centennial Symposium in Jerusalem, Princeton University Press. (1982)
[5] Gunnar Carlsson, Topology and Data, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 46 (2009), no. 2, 255–308.
本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。
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