[1] 作者为著名的俄罗斯数学家弗拉基米尔•阿诺德 ( Vladimir Igorevich Arnold, 1937-2010)。他是20世纪最伟大的数学家之一,曾获克拉福德奖(1982)、沃尔夫奖(2001)和邵逸夫奖(2008)等奖。此文为1997年3月7日作者在法国巴黎探索文化宫(Palais de la Découverte,为法国科学教育中心博物馆)所发表演讲的扩充版,以俄文发表于Uspekhi Mat. Nauk 53( 1998), no. 1(319), 229-234; 英译见Russian Math. Surveys 53(1998), no. 1, 229-236。英译网页版本可参http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html。亦有中译流传于网络。然而此中译不仅有笔误、漏译等不完善处,错译也不少。因该中译译者佚名,现遵《数学文化》主编之托,参考该中译,根据英译重译该文。英译中也有不清晰处,是故徐佩教授也帮助参考了俄文。译文中尽可能为初学者可能不熟悉的部分、较易说清楚的内容加了些注释并配图以方便阅读。翻译本非易事,本文涉及的数学内容又很广,错误、不恰当处请读者批评。最后,关于阿诺德的故事以及与本文类似的观点的更多阐述,有兴趣的读者可阅读他于1999年春意外受伤后养病期间撰写的书Yesterday and Long Ago (原书为俄文,2006年出版;英译2007年由Springer出版) 。
这篇文章反映了阿诺德对布尔巴基的批判,对庞加莱(Jules Henri Poincaré, 1854-1912)直觉主义的支持。值得指出的是,今年(2012)恰为庞加莱逝世100周年。[2] 阿诺德后来有文章更具体地谈到这个观点。例如,在他写的A. N. Kolmogorov and natural science (Russian Mathematical Surveys, 2004, 59:1, 27–46)一文中,即明确提到由雅可比恒等式可得出三角形三条高相交于垂心,其中[· , ·] 为向量积。(因此中学课程就应该学习该恒等式,不必要等到学李代数等较高等课程时才学习。)更多介绍可以参考《美国数学月刊》上Nikolai V. Ivanov的文章Arnol´d, the Jacobi Identity, and Orthocenters, The American Mathematical Monthly, 2011, 118:1, 41–65。顺便提一件轶事。爱因斯坦的传记中记述过他小时两件“奇迹”。一是5,6岁时对指南针感兴趣,二是12岁时对欧几里得几何着迷,特别提到垂心定理。[3] 哈代(G. H. Hardy, 1877-1947)为英国著名数学家。该引语出自他的名著《一个数学家的自白》(A Mathematician´s Apology, Cambridge University Press, 1994)。整段表达为:正像画家和诗人的模式一样,数学家的模式也必须是优美的;正像色彩和文字一样,数学家的思想也必须和谐一致。优美是第一关:丑陋的数学在世上无永存之地。(The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics. )[4] 高师是法国最好的大学,法国最具选拔性和挑战性的高等教育研究机构。校友中迄今已有施瓦茨、托姆以及新近的吴宝珠、维拉尼等共10位菲尔兹奖得主。[5] 洛必达(Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, 1661-1704),法国数学家。所提他撰写的教材原文名为Analyse des infiniment petits pour l´intelligence des lignes courbes,1696年出版。著名的洛必达法则即出现在此书中。[6] 古尔萨(Edouard Goursat, 1858-1936),法国数学家。他的课本指1902年开始陆续出版的三卷本《数学分析教程》(Cours d´analyse mathématique)。中译最早有19世纪30年代王尚济的《解析数学讲义》以及40年代刘景芳翻译的《数学分析教程》。[7] 彼德罗夫斯基(Ivan Georgievich Petrovsky, 1901-1973) 研究偏微分方程等,对希尔伯特第19和第16问题有重要贡献。曾任莫斯科国立大学校长(期间阿诺德被录取) 。[8] 路易•巴斯德(Louis Pasteur, 1822-1895),法国微生物学家、化学家,微生物学的奠基人之一。巴斯德原文常见英译为 “There are no such things as applied sciences, only applications of science”。[9] 尼古拉•布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是二十世纪一群法国数学家为自己作品的集体笔名,其团队的正式称呼是“尼古拉•布尔巴基合作者协会”。主页为http://www.bourbaki.ens.fr。布尔巴基希望在集合论的基础上用公理方法重新构造整个现代数学,致力于数学的严格化与一般化。布尔巴基认为:数学,至少纯粹数学,是研究抽象结构的理论。结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统。有三种基本的抽象结构:代数结构,序结构,拓扑结构。布尔巴基他们自1935年开始撰写题为《数学原理》(Éléments de mathématique)的一系列著作以述说他们的观点。这套书共9卷,有七千多页。[10] 这里的雅可比是卡尔•雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804–1851)。1770年拉格朗日证明了四平方和定理:每个正整数均可表示为最多四个整数的平方和。例如。1834年,雅可比发现了将整数分拆为四个平方数之和的表示方法数的精确公式,这和雅可比椭圆函数有关。可参考华罗庚著《数论导引》第八章。[11] 庞加莱是直觉主义的先驱,认为直觉是发明的工具。1905年庞加莱发表《数学中的直觉与逻辑》。英译可参考http://www-history. mcs.st-and.ac.uk/Extras/Poincare_Intuition.html,中译可参考《科学的价值》(李醒民译,光明日报出版社,1988)。庞加莱在此文中讨论了两类数学家,而迈克尔•阿蒂亚爵士在其演讲《二十世纪的数学》中区分了形式主义传统的代表人物(莱布尼兹—希尔伯特—布尔巴基)和直觉主义传统的代表人物(牛顿—庞加莱—阿诺德)。此处“蛋糕与苹果”的例子,按阿诺德所述,源自庞加莱。阿诺德 在一次俄法 “Mistral” 会议上的演讲(参Yersterday and Long Ago, 第157页)也提到分数教学,明确提到庞加莱曾说,只有这两种方式来教分数。阿诺德还提到卢梭在其《忏悔录》的回忆:只有在分割矩形后他才理解完全平方和公式
[13] 尤金•魏格纳(Eugene Paul Wigner, 1902-1995)系匈牙利-美国物理学家,诺贝尔物理学奖获得者(1963)。这一说法参魏格纳的文章:The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, Communications on Pure and Applied Mathematics ( 1960), 13:1, 1– 14.
[14] 托马斯•罗伯特•马尔萨斯(Thomas Robert Malthus, 1766-1834)是英国人口学家和政治经济学家。人口学原理的基本思想是:如没有限制,人口呈指数增长。方程的解为指数函数。在时,
。原子半径在30-300皮米 (1皮米=米)之间。
[15] 阿诺德在Yersterday and Long Ago(第36-37页)中也提到相同的内容,并说唯一性定理与物理现实不符是M. L. Lidov教给他的。
[16] 此书英译2004年由Kluwer出版。阿诺德的针对中学生(14-16岁)的课程由正在进行教学改革(更新欧几里得传统)的柯尔莫哥洛夫组织。参考Yersterday and Long Ago第158–163页。