有限集合运算全家桶

本文为系列文章 “集合系的分类” 的第三篇。该系列文章尝试把测度论中涉及的各种集合系（或称集族）串联起来，帮助理解，为后续的测度论学习打下扎实的基础。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集合运算

上一篇系列文章《集合系的常见配方》，我们已经介绍了3个常见配方：  系  ，半环  以及环  。咱们看看还剩下什么原材料：

• 真子集差？环已经对差集封闭，自然也对真子集差封闭，后续不再列出；

• 补集？

• 全集  ？

这次我们应该选哪一个呢？

1. 有限集合运算全家桶

系列文章《集合系的原材料》的式(1)提到：

差集 + 全集      补集

由于环  已经对差集运算封闭，如果现在再给环  添加 “全集  ”，自然也会对补集运算封闭。那如果改为添加 “补集” 呢？由下面的证明可知集合系也会包含全集  ：

证明

对于环  的任意元素  ，如果环  对补集运算封闭，则有  。而环  又对并集运算封闭，因此有：

所以环  也会包含全集  ，证毕。

因此，无论这时候我们给环  添加 “全集  ” 还是 “补集”，结果都会一样，都会变相包含所有 “原材料”：交集、并集、真子集差、弱真子集差、补集、全集  以及空集  （都是有限个集合的运算），这不正是集合系的有限集合运算全家桶吗。

大家通常把这种对所有有限集合运算都封闭的集合系称为域，或代数。下面是简化后的定义：

定义

如果全集  上的非空集合系  同时对交集、补集运算封闭，则称集合系  为域，或代数。

证明

为证明上述定义的域对所有有限集合运算封闭，还需证明集合系  对并集、真子集差、弱真子集差运算封闭，以及  。

1. 证明集合系  对并集运算封闭

对于任意的集合  ，有  ，而  对交集、补集运算都封闭，因此有  。

2. 证明  且  

由于集合系  非空，不妨设集合  ，而  对补集运算封闭，因此有  。再加上  对交集、并集运算都封闭，因此有：

 得证。 

3. 证明集合系  对真子集差、弱真子集差运算封闭

对于任意的集合  ，有  ，而  对交集、补集运算都封闭，因此有  ，即集合系  对差集运算封闭，那自然也对真子集差、弱真子集差运算封闭。

综上所述，集合系  对所有有限集合运算封闭，证毕。

从定义可以看出，只要在  系的基础上同时对补集运算封闭，集合系就是域。这就是上一篇系列文章《集合系的常见配方》，在选择 “原材料” 时多次不选择补集的原因（具体见从  系到半环，从半环到环的选择过程）。一旦选择补集，瞬间就凑齐所有有限集合运算，这样就看不到一个循序渐进的演变过程。

2. 如何添加全集

须要注意的是，前面说的给环   “添加全集  ” ，并不是简单添加一个全集元素  就能使环  成为域。而是，在添加了全集元素  后，集合系还须要引入其它一系列相关的集合元素，使之依然能够保持环  对并集运算、差运算封闭的性质，这时候的集合系才能称之为域。

在系列文章《集合系的常见配方》中曾经提到，如果集合系是半环而且包含全集  ，则该集合系称为半域。类似前面说的：给环   “添加全集  ” ，用同样的方式给半环   “添加全集  ” ，就能使之成为半域了。半域在构造域的时候能起到重要作用，后续的文章将详细讲讲。

还有另外一种给环   “添加全集” 的方法：

结论

给定全集  上的环  以及非空集合  ，记集合系  为：

则集合系  是全集  上的域。

证明

1. 证明集合系  对交集运算封闭

对于集合系  中的任意两个集合，不妨记为  和  ，则有：

因  ，知  ，所以集合系对交集运算封闭。

2. 证明集合系  对补集运算封闭

对于集合系  中的任意集合，不妨记为  ，它在全集为  意义下的补集为  ，则有：

即集合系对全集为  意义下的补集运算封闭。 

此外，明显有  ，即  包含它的全集  。综上所述，集合系  全集  上的域，证毕。

上面这种方法是通过缩小全集的范围，得到新全集意义下的域。

3. 小结

我们通过给集合系引入不同的集合运算以及特殊元素，将  系、半环、环、域（或代数）串联了起来：

 

 

通过这个串联过程，可以更好地理解集合系之间的联系和区别，也同时看到各种集合运算之间互相搭配所起到的作用。

接下来的系列文章，将为您介绍更高级的原材料，敬请期待。