前面系列文章介绍的最后一个常见配方，是被称作 “有限集合运算全家桶” 的域（或代数）。而之后的文章《更高级的原材料》则引入两种新的 “原材料”：单调不减序列的并集和单调不增序列的交集。我们继续往集合系 “域” 里面添加原材料吧！
“单调不减序列的并集” 和 “单调不增序列的交集”，我们应该选择其中的哪一个来添加呢？不着急，在文章《更高级的原材料》末尾的结论2：
而集合系作为域，已经对补集运算封闭，因此上述两种材料添加哪一种其实都是一样的！
而且，作为域的集合系也已经对有限并集、有限交集封闭，在对单调不减序列的并集（或单调不增序列的交集）封闭之后，根据文章《更高级的原材料》的结论1，集合系也同时对可列并集、可列交集封闭！
大家把这种对所有有限集合运算都封闭，同时又对可列并集、可列交集封闭的集合系称为 域，或 代数。下面是简化后的定义： |
我们证明一下集合系对所有有限集合运算、可列交集也封闭。 由于集合系对补集运算、可列并运算都封闭，可知 ，即集合系对可列交集也封闭。
由于集合系对可列交集封闭，如文章《更高级的原材料》结论1所说，集合系自然也对有限交集封闭。再加上集合系已对补集运算封闭，足以说明集合系 是域，从而对所有有限集合运算都是封闭的。 |
测度论里会把集合系 域里面的集合元素称为可测集，在 域上建立测度，然后把 域 和全集 放在一起，组成可测空间 。你现在知道 域有多重要了吧。
上一节，我们在域的基础上添加 “单调不减序列的并集”，集合系就直接演变为 域。也就是说，如果我们能够先找到一个域，然后再证明这个集合系对可列运算封闭，即可得到一个 域。实际中这样好操作吗？大佬用他们的经验告诉我们：| 在应用中确定一个集合系是单调系往往比较简单，但代数（域）的构造仍然比较复杂，真要做起来还是比较烦琐。在应用中主要的矛盾是对交的封闭。 |
—— 任佳刚、巫静的《测度与概率教程》 |
大佬建议我们从对交集运算封闭的集合系（ 系）入手，再确定集合系是否满足其它条件，使之成为 域。我们换个角度来理解：对于 系，至少还需要满足什么条件才能成为 域？或者再换个角度，如果 域剔除掉 “对有限交集封闭” 的这个条件，会成为一个怎样的集合系？
分析一
系列文章《集合系的原材料》提到过：
既然我们决定剔除交集运算，那就必须保留真子集差和空集，否则会丢失差集的一些性质。分析二
接着我们考虑一下并集和补集，我们知道：
为了剔除交集运算，我们不能同时保留并集、补集运算；但这种情况下会失去获取全集的一种渠道，我们必须保留获取全集的另一个渠道：直接引入全集。
前面说了必须保留真子集差和空集，现在又必须直接引入全集，三种原材料自然地蕴含了补集运算。
前面也说了不能同时保留并集和补集运算，既然前面的分析已确认包含了补集运算，我们只能选择剔除并集运算。
再次根据系列文章《更高级的原材料》的结论2：
既然现在已确认包含了补集运算，“单调不减序列的并集”、“单调不减序列的交集”，我们从中任选一个即可。
有限交集？这次须要剔除的目标；
有限并集？因全集与真子集差、空集蕴含补集运算，必须剔除并集运算（分析四）；
全集 ？必须直接引入（分析二）；
空集 ？因差集剔除交集而必须保留（分析一）；
真子集差？因差集剔除交集而必须保留（分析一）；
弱真子集差？真子集差已蕴含该运算，不单独引入；
补集？全集和真子集差、空集已蕴含该运算，不单独引入（分析三）；
单调不减序列的并集？直接引入（分析五）；
单调不增序列的交集？因单调不减序列的并集和补集已蕴含该运算，不单独引入（分析五）。
于是原材料清单在剔除交集运算后仅剩下：全集 、空集 、真子集差以及单调不减序列的并集。将真子集差与空集 合在一起等价替换为子集差，则有下面的定义：这材料组合实在是奇葩啊！
这个集合系，恰恰在测度论里面有很广泛的用途，如单调类定理。希望上面的分析能有助于大家对 系的理解和记忆。
3. 系列总结
我们在域的基础上添加了可列集合运算，使之成为 域。然后又针对实际应用的情况，将有限交集从 域中剔除，从而得到 系。至此，所有测度论相关的集合系均已串联起来：
|
不同的书籍可能对集合系有不同的定义方法，但他们的本质都是一样的。借助这一系列文章的串联方法，相信能更好地把握各种集合系的核心特征。
后面将会有系列文章专门讲述单调类定理，以及如何从一般的集合系生成相关的 域。从最初仅对有限集合运算运算封闭的域，到后来对可列个集合运算封闭的 域，是从有限到无穷的演进。但无穷集并不只是可列集，对于基数为 个集合、甚至更多集合的运算，其封闭性是否值得探究？ |