集函数的非负性和单调性

本文为系列文章 “集函数的性质” 的第三篇。该系列文章尝试将集函数的几种性质关联起来，看是否能留下更深刻的印象，从而能更好地理解后续的测度、符号测度等特殊集函数之间的不同。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集函数、弱子集差、环

日常生活中我们遇到的一些测量场景，如在圆内部的任何图形，它的面积测量出来肯定比圆小，因为内部的任何图形都是圆的子集。而 “测度” 作为测量的抽象工具，当然也得保留着一样的性质。基于这个理解，我们引入集函数单调性的定义：

定义

已知  是  上的集函数，如果对任何  ，  ，均有

则称集函数  具有单调性。

一、从单调性到非负性

上篇系列文章《集函数在空集上的取值》在结尾时提到，对于任何包含空集  的集合系  ，定义在其上的非平凡集函数  若满足可列可加性，或有限可加性，或可减性，如果  同时还满足单调性，则  是非负的。这是因为：

空集函数值为0 + 单调性   非负性 (1)

类似于单调性，对于日常生活中的测量场景，有限可加性也是重要的性质：如有限个不相交平面图形的总面积，当然应该等同于各自面积的总和。从上述角度来看，当我们需要把 “日常的测量” 抽象为 “测度” 时，要求集函数同时具备有限可加性和单调性，则是非常合理的要求。

这时，根据式(1)就会有下面这个简单的结论：

结论1

已知集合系  且空集  ，而  是  上的非平凡集函数，如果  同时满足单调性和有限可加性，则  是非负集函数。

证明

由于集函数  满足有限可加性且  ，由系列文章《集函数在空集上的取值》的结论1可知：  。而对于任意集合  ，都有  ，于是由单调性可得：

即  是非负集函数，证毕。

也就是说，在有限可加性、单调性两种性质的加持下，集函数必须是非负的。前面的系列文章《随便说说集函数》就已经讲述了非负集函数的重要性，这里则是从另一个角度看出非负集函数的重要性。

类似的，由于可列可加性、可减性同样可推导出  ，所以在可列可加性、单调性两种性质的加持下，或者在可减性、单调性两种性质的加持下，集函数也必须是非负的：

• 可列可加性 + 单调性   非负性 (2)
• 有限可加性  + 单调性   非负性 (3)
• 可减性 + 单调性   非负性 (4)

二、从非负性到单调性

前面已经说到，集函数的可列可加性、有限可加性、可减性在单调性的加持下可以推导出非负性。但实际应用中，判断集函数的单调性要比判断非负性困难。所以，是否能够从非负性推导出单调性，使得式(2)、式(3)或式(4)的反向也成立呢？

我们看以下结论：

结论2

已知集合系  对弱子集差运算封闭，  是  上的非负集函数（非平凡），如果  满足有限可加性，则  满足单调性。

证明

对于任意集合  且  ，由于集合系  对弱子集差运算封闭，即存在有限个两两不交的集合  ，使得  ，则有：

即集合  可以表示为  中有限个集合的并集。此时由有限可加性可得： 

因   是非负集函数，有  ，则可得： 

即满足单调性，证毕。 

关于 “弱子集差” 这个奇葩的集合运算，请参考文章《集合系的原材料》。还需要注意的是，结论2并没有要求集合系  包含空集  ，因此，空集  并不是单调性的必要条件。

从上述证明过程可以看到，通过 “对弱子集差封闭” 将集合  与集合  关联起来；而只有当  是非负集函数时，才能引入不等式，得到非负性。这样就和式(3)对应起来：

有限可加性  + 非负性   单调性 (5)

再结合系列文章《集函数在空集上的取值》的结论3（同样不要求集合系  包含空集  ），可知：

有限可加性 + 非负性     可减性 + 单调性 (6)

对于式(2)的反向，由系列文章《集函数在空集上的取值》知 “可列可加性” 蕴含 “有限可加性”（但要求集合系  包含空集  ），那式(6)自然也适用于可列可加性。

然而，对于式(4)的反向就没那么容易了。对于任意的  ，即使保证  ，如果  ，则仍然不满足使用可减性的条件，也就无法保证  。

此外，从式(5)或式(6)也可以看出，集合系的结构对集函数的性质有着重要的影响。后续还有更多例子说明这一点。

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在文章的结尾，我们再多看一点式(4)和式(6)：

• 可减性 + 单调性   非负性 (4)
• 有限可加性 + 非负性     可减性 + 单调性 (6)

可以看到，从有限可加性和非负性可以推导出可减性和单调性，反过来的话目前只能推导出非负性，还缺少有限可加性。怎样才能推导出有限可加性呢？毕竟它是第二重要的性质啊！