有限可加性，真那么简单?

本文为系列文章 “集函数的性质” 的第四篇。该系列文章尝试将集函数的几种性质关联起来，看是否能留下更深刻的印象，从而能更好地理解后续的测度、符号测度等特殊集函数之间的不同。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集函数、弱子集差、环

上篇系列文章《集函数的非负性和单调性》留下了一个问题：怎样从 “可减性” 和 “单调性” 推导出 “有限可加性”？这篇文章将围绕这个问题，继续捋一捋有限可加性、单调性、可减性之间的关系。再次给出有限可加性的定义：

定义

已知  是集合系  上的集函数，如果对任意有限个两两不交的集合  ，只要  ，就一定有

则称集函数  具有有限可加性。

一、说说二元可加性

怎么无端端说起 “二元可加性”？因为通过可减性和单调性一般只能推出二元可加性！先看一下这个所谓的 “二元可加性” 说的是什么：

定义

已知  是集合系  上的集函数，如果对任意两个不相交的集合  ，只要  ，就一定有

则称集函数  具有二元可加性。

二元可加性是随便起的名字，方便后文叙述。如果觉得不合适的话，可以自己定义一个。可以注意到，有限可加性与二元可加性的区别在于定义中的 “任意有限个” 与 “任意两个”。

我们先看一下，怎样从可减性和单调性推导出二元可加性：

结论1

已知集合系  且空集  ，而  是  上的非平凡集函数，如果  同时满足可减性和单调性，则  满足二元可加性。

证明

由上一篇系列文章《集函数的非负性和单调性》的式(4)可知，在  时如果  同时满足可减性和单调性，则  必然是非负的。

对于任意的两个集合  ，如果  且  ，分两个情况来证明二元可加性。因为  非负，无需讨论  的情况。

1.   或  至少有一个为  

不妨设  ，由  以及单调性可知：

这时有   ，满足二元可加性。

2.   且  

由可减性可知：

 因   ，可得： 

综合上述2点可知：集函数  满足二元可加性。证毕。

二、如何得到有限可加性

从有限可加性和二元可加性的定义容易看出：

有限可加性   二元可加性

而反过来，二元可加性无法直接推导出有限可加性，因为集函数所在的集合系  不一定对并集运算封闭。我们给出下面的结论，然后在证明过程中体会两个性质的区别：

结论2

已知集合系  对并运算封闭，而  是  上的非平凡集函数，如果  满足二元可加性，则  满足有限可加性。

证明

对任意有限个两两不交的集合  ，且  。因集合系  对并运算封闭，对任意  有：  以及 

因此可多次使用二元可加性： 

证毕。

从上述证明过程可以看出，即使对某个  ，有：

如果不能保证： 

则无法使用二元可加性，无法推导出有限可加性。由此可见，并运算封闭对有限可加性是多重要；也再次看出，集合系的结构是如何影响集函数的性质。

三、有限可加性小结

前面结论1和结论2说的是：

  可减性 + 单调性   二元可加性

  二元可加性   有限可加性

综合起来就可以得到：

可减性 + 单调性   有限可加性

结合文章《集函数的非负性和单调性》的式(4)和式(6)，可得：

  有限可加性 + 非负性   可减性 + 单调性

  有限可加性 + 非负性     可减性 + 单调性

如果集函数所在的集合系包含空集  ，同时对并集运算封闭，又对弱子集差运算封闭，例如环（参考文章《集合系的常见配方》），则有：

有限可加性 + 非负性     可减性 + 单调性

到这里，我们就理清 “非负集函数” 几个基本性质的关系了。