本文为系列文章 “单调类定理” 的第一篇。该系列文章将单调类定理相关内容单独整理，避免零散地穿插于其他知识点之间，便于整体把握、按需掌握。 所需知识：集合运算 |
定义 如果对集合系 中的任何单调序列 均有 ，则称集合系 为单调系（或称单调类）。 |
这个系列所讲的 "单调类定理"，就是和上述单调系相关的几个定理。
没错，单调类定理涉及若干个定理，通常分布在测度论书籍里的不同角落，且其中部分定理自身比较枯燥繁杂不怎么友好，实在不利于学习掌握。而在学习测度论后续相关知识的时候，才慢慢地感受到 "单调类定理" 的威力，如证明测度扩张的唯一性、如何通过转移函数构造乘积空间的测度，等等。既然这样，索性把相关知识做成一个系列文章，需要时再过来看就好了！
一、最基础版本
我们直接从其中最基础的版本开始了解：
即使是最基础的版本，也涉及好几个概念：域 、 以及 。关于域 ，是指集合系 对有限交集、有限并集、差集、补集等有限集合运算封闭，具体可以看看文章《有限集合运算全家桶》；而 和 则分别指由集合系 生成的 域和单调系，即包含 的最小的 域和单调系，具体可以看看文章《我要变大，不要变圆》。
在开始证明之前，我们从几个角度来看看定理1说了什么：| 包含 的 "最小 域" 与 "最小单调系" 是相同的集合系. |
这个角度给出一种通过域 构造 的思路，即构造其最小单调系。我们在文章《任意集合系生成的域》已经指出如何生成任意集合系最小域的方法，结合这个思路不就可以得到任意集合系的最小 域？不过，我看的文献太少，还没看到相关的文章，也还没看到相关的应用。| 已知集合系 是域，集合系 是包含 的单调系，则： . |
也就是说，单调系 包含 的最小 域 ，毕竟 是包含 的最小单调系，自然是 的子集。实际应用中，这个角度用的更多一点。
接下来证明定理1。文章《集合系的终极配方》指出 域也是一类单调系，既然 是包含 的 域，也就是包含 的单调系，而 是包含 的最小单调系，自然可推得：
| 剩下的就是证明反方向的 。同样由文章《集合系的终极配方》可知，既然 已经是单调系，那就只需证明 是域；而已知 ，欲证 是域，又只需证明它是一个环。根据《集合系的常见配方》中环的定义，需要证明 同时对并集、差集运算封闭。 |
接下来用到的证明方法比较特别，在测度论中比较常见。在集合系中取任意的集合 ，将 中与集合 的并集、差集运算都封闭的集合筛选出来组成集合系 ，即：同时有：
结论1 |
| 作为域， 明显对并集、差集运算封闭，因此有 。接下来证明 是单调系。对于 中任意的单调不减序列 ，即 成立。如果 ，则：由于 且 是单调系，可知 且 ，可见集合 符合 的定义，因此有 。对于 中单调不增序列的情况，可以采用同样的方法证明该序列的极限仍在 里面。综上， 中单调序列的极限仍在 里面，所以 是单调系，证毕。 |
既然 是单调系，且 ，因此又有 ，结合式(2)可知 。这表明：
如果能把集合 的选择范围从 扩大到 ，不就能说明 对并集、差集运算封闭吗？
类似前面的证明方法，对任意的 ，将 中与集合 的并集、差集运算都封闭的集合筛选出来组成集合系 ，即：
同时也有：
结论2 |
类似结论1的证明方法，对于 中任意的单调不减序列 ，即 成立。如果 ，则：
由于 且 是单调系，可知 且 ，可见集合 符合 的定义，因此有 。对于 中单调不增序列的情况，可以采用同样的方法证明该序列的极限仍在 里面。综上， 中单调序列的极限仍在 里面，所以 是单调系，证毕。 |
因式(4)的 以及 是单调系，可知 ；又因式(4)的 ，可知 ，也就是：
可见 对并集、差集运算封闭，这就说明 是一个环。根据前面的证明思路，可知 ，定理证毕。
这篇文章仅仅讲了单调类定理的最基础版本，可以看出它是用来判断单调系与 域之间的关系。据说这个版本应用不多，应用较多的是前面角度3所提及的方式，这里把它作为推论写出来：但说实话，我真没看到有多少应用（读得书少）。由于集合系是测度论最基础的内容，这个版本的定理和推论通常会出现在测度论书籍的第一章，而这种定理及其证明方法实在有点消耗初学者的学习热情。还是单独拎出来，需要时再来看好。
后续的系列文章将继续介绍其它版本的单调类定理，相关应用也会多一点。